河北省廊坊市安次区2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-26 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共16个小题，共38分。1~6小题各3分；7-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列式子一定是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{m}$ B、 $- \sqrt{m}$ C、 $\sqrt[3]{m}$ D、 $\sqrt{m^{2}}$

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2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $\sqrt{0.2}$

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3. 在下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）

A、1，2，5 B、1， $\sqrt{3}$ ， 2 C、1，2，3 D、1，1，2

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4. 二次根式 $\sqrt{a - 1}$ 在实数范围内有意义，则实数a的值可以是（）

A、 $- 1$ B、0 C、2 D、 $\frac{2}{3}$

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5. 化简： $\sqrt{(- 4)^{2}} =$ （）

A、 $\pm 4$ B、 $- 4$ C、16 D、4

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6. 如图，长为 $8 c m$ 的橡皮筋，放置在木板M上，固定两端A和B ，然后将中点C向上拉 $3 c m$ 至点D ，则橡皮筋被拉长了（）

A、 $2 c m$ B、 $3 c m$ C、 $4 c m$ D、 $5 c m$

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7. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A的坐标为 $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{2})$ ，则OA的长为（）

A、 $\sqrt{11}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{7}$

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8. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{9} \div \sqrt{3} = 3$ B、 $2 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{4} + \sqrt{3} = \sqrt{7}$ D、 $3 \sqrt{3} - \sqrt{12} = \sqrt{3}$

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9. 如图，一块模板材料是分别以一个直角三角形的一条直角边和斜边为一边向外作正方形得到的，两个正方形的面积分别为 $9 c m^{2}$ 和 $21 c m^{2}$ ，则这个直角三角形的面积为（）

A、 $12 c m^{2}$ B、 $3 \sqrt{3} c m^{2}$ C、 $6 \sqrt{3} c m^{2}$ D、 $6 \sqrt{3} c m^{2}$

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10. 若 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{5}$ ，则 $\sqrt{\frac{15 a^{2}}{b^{2}}} =$ （）

A、 $\sqrt{15}$ B、5 C、3 D、 $\sqrt{5}$

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5, B C = 8$ ， D是线段BC上的动点（不与点B ， C重合）．当 $△ A C D$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ 时，BD的长为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $8 - 3 \sqrt{3}$ C、 $6 - 2 \sqrt{3}$ D、 $8 - 2 \sqrt{3}$

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12. 若x为实数，在“（ $\sqrt{3} + 1$ ）☐x”的“☐”中添上一种运算符号（在“+、-、×、÷”中选择）后，其运算结果为有理数，则x不可能是（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $1 - \sqrt{3}$

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13. 如图，一个圆柱的底面半径为 $\frac{8}{π}$ ， $B C = 12$ ，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中，点S ，则移动的最短距离为（）

A、10 B、12 C、14 D、20

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14. 已知 $y = \sqrt{x - 12} + \sqrt{12 - x} + 3$ ，则 $\sqrt{\frac{x}{y}} =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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15. 四边形ABCD的部分边长如图所示，边BC的长度随四边形形状的改变而变化．当 $∠ D = 90 °$ 时，四边形ABCD的边BC的长可以是（）

A、1 B、2 C、4 D、7

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16. 对于任意的正数a ， b ，定义运算★， $a ★ b = {\begin{array}{l} \sqrt{b} - \sqrt{a} (b \leq a) \\ \sqrt{b} + \sqrt{a} (b > a) \end{array}$ ，计算 $(5 ★ 4) \times (16 ★ 20)$ 的结果为（）

A、 $2 \sqrt{5} + 4$ B、 $4 - \sqrt{5}$ C、2 D、 $- 2$

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二、填空题（本大题共3个小题，共10分。17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，把答案写在题中横线上）

17. 若 $\sqrt{\frac{16}{n}}$ 是整数，写出一个符合条件的整数n的值：．

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18. 若 $3 - \sqrt{2}$ 的整数部分为a ，小数部分为b ，则 $b =$ ，代数式 $(\sqrt{2} a + 2) \cdot b$ 的值是．

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19. 如图，在数轴上，点A表示的数是2， $△ O A B$ 是直角三角形， $∠ O A B = 90 ° ， A B = 1$ ，现以点O为圆心，线段OB的长为半径画弧，交数轴负半轴于点C ，则 $A C =$ ，点C关于点A的对称点 $C_{1}$ 表示的数为．

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三、解答题（本大题共7个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

20. 计算下列各题：

(1)、 $\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot (\sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{12})$

(2)、 $(2 - \sqrt{3})^{2} - (2 \sqrt{3} + \sqrt{5}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{5})$

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21. 如图，在 $4 \times 4$ 的网格中，每个小正方形的边长均为1，连接小正方形的三个顶点得到 $△ A B C$ ，小正方形的顶点D在 $△ A B C$ 的边AB上，解答下列问题：

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状并求出其周长；

(2)、求 $△ A C D$ 和 $△ B C D$ 的周长之差．

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22. 已知 $x = 4 + 2 \sqrt{3}, y = 4 - 2 \sqrt{3}$ ，分别求下列代数式的值：

(1)、 $x^{2} y - x y^{2}$ ；

(2)、 $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ ．

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23. “为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段MN上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C ，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知 $∠ C B N = 60 °$ ， $B C = 200$ 米， $A C = 100 \sqrt{6}$ 米．

(1)、请求出观测点C到公路MN的距离；

(2)、此车超速了吗？请说明理由．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1 ． 41 ， \sqrt{3} \approx 1 ． 73$ ）

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24. 嘉琪在学习《二次根式》时，发现一些含有根号的式子也可以写成完全平方式的形式，如 $3 + 2 \sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2}$ ，善于思考的嘉琪进行了如下探索：
设 $a + b \sqrt{2} = (m + n \sqrt{2})^{2}$ （其中a ， b ， m ， n均为正整数），则有 $a + b \sqrt{2} = m^{2} + 2 m n \sqrt{2} + 2 n^{2}$ ．
所以 $a = m^{2} + 2 n^{2}, b = 2 m n$ ．这样，嘉琪找到了把类似 $a + b \sqrt{2}$ 的式子化为完全平方式的方法请你仿照嘉琪的方法探索并解决问题：

(1)、当a ， b ， m ， n均为正整数时，若 $a + b \sqrt{3} = (m + n \sqrt{3})^{2}$ ，用含m ， n的式子分别表示a和b；

(2)、利用所探索的结论，找一组满足（1）中关系式 $a + b \sqrt{3} = (m + n \sqrt{3})^{2}$ 的正整数a ， b ． m ． n；

(3)、若 $a + 4 \sqrt{3} = (m + n \sqrt{3})^{2}$ ．且a ， b ， m ， n均为正整数，求a的值．

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25. 物体在做自由落体运动时，下落时间t（s）和下落高度h（m）之间满足关系式 $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ ，其中 $g \approx 10 m / s^{2}$ （不考虑空气阻力）．

(1)、小球从 $50 m$ 的高空自由下落，需要多长时间到达地面？

(2)、小芳认为，小球从 $100 m$ 的高空下落需要的时间是从 $50 m$ 的高空下落需要的时间的2倍，你认为小芳的想法正确吗？如果不正确，请说明理由；

(3)、据研究，高空下落物体的动能（单位：J） $= 10 \times$ 物体的质量（单位：kg）×高度（单位：m），将某个质量为 $0 ． 04 k g$ 的皮球从高空抛下，经过 $5 s$ 后落在地上，这个皮球产生的动能是多少？

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26. 有一块长方形纸板，嘉琪用如图1所示的方式，在纸板上截出两块面积分别为 $27 d m^{2}$ 和 $48 d m^{2}$ 的正方形纸板．

(1)、求截出的这两块正方形纸板的边长；

(2)、嘉琪用截出的两块正方形纸板按如图2所示的方式进行拼接，得到两个直角三角形（阴影部分），求这两个直角三角形的面积之和；

(3)、现有若干完全相同的长方形纸板，每个长方形纸板恰好可以截出两块面积分别为 $18 d m^{2}$ 和 $32 d m^{2}$ 的正方形，嘉琪打算将截完正方形后剩余的小长方形纸板再次进行裁剪拼接，铺满（2）中得到的两个直角三角形（阴影部分），那么她至少要用多少块这样的小长方形纸板？

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