湖南省常德市津市2024年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2024-04-26 类型：中考模拟

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1. 一元二次方程 $3 x^{2} - 4 x - 4 = 1$ 的一次项系数为（）

A、 $- 5$ B、 $- 4$ C、3 D、6

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2. “明天下雨的概率为 $80 %$ ”，下列对这句话的理解正确的是（）

A、明天一定下雨 B、明天一定不下雨 C、明天80%的地方下雨 D、明天下雨的可能性很大

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3. 二次函数 $y = a {(x - m)}^{2} - k$ 的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（）

A、 $m < 0$ ， $k < 0$ B、 $m > 0$ ， $k > 0$ C、 $m > 0$ ， $k < 0$ D、 $m < 0$ ， $k > 0$

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4. 一个圆锥的母线长 $18 c m$ ，底面直径长 $8 c m$ ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（）

A、 $60 °$ B、 $80 °$ C、 $100 °$ D、 $120 °$

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5. 将二次函数 $y = x^{2} - 6$ 的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为（）

A、 $y = x^{2} - 2 x - 5$ B、 $y = x^{2} + 2 x - 9$ C、 $y = x^{2} - 2 x - 8$ D、 $y = x^{2} + 2 x - 5$

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6. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的．如图是由“七巧板”组成的边长为 $5 c m$ 的正方形，若在正方形区域内随意取一点，则该点取到阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{2}{7}$

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7. 若将一元二次方程 $x^{2} - 8 x + 5 = 0$ 化成 ${(x + a)}^{2} + b = 0$ 的形式，则 $a$ 和 $b$ 的值分别为（）

A、 $4$ ， $11$ B、 $4$ ， $19$ C、 $- 4$ ， $- 11$ D、 $- 4$ ， $- 19$

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8. 如图所示，在平面直角坐标系中 $A (0 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $P (0 ， 1)$ ，四边形 $A B Q P$ 是正方形，把正方形 $A B Q P$ 绕点A顺时针旋转，每次旋转 $90 °$ ，则第2022次旋转结束时，点Q的坐标为（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(1, - 1)$ C、 $(- 1, - 1)$ D、 $(- 1, 1)$

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9. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $A C$ ， $B D$ ，过点 $C$ 作 $C F ⊥ B D$ 于点 $F$ ，交 $A B$ 于点 $G$ ，若 $C D = 8$ ， $O G = 1$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、 $4$ B、 $\frac{13}{3}$ C、 $\frac{26}{5}$ D、 $6$

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10. 将抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 中 $x$ 轴上方的部分沿 $x$ 轴翻折到 $x$ 轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线 $y = x + m$ 有 $4$ 个交点，则m的取值范围是（）

A、 $m \leq - 5$ B、 $- \frac{21}{4} \leq m < - 5$ C、 $- \frac{21}{4} < m < - 3$ D、 $m \geq - 3$

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二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + 6 = 0$ 的一个根为3，则方程的另一个根是．

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12. 某公司购进了一批草莓，并对这批草莓进行了“损坏率”统计，如下表是通过随机取样后，得到的草莓“损坏率”统计表的一部分，由已知数据和图表估计草莓完好的概率为．（精确到 $0.1$ ）
草莓总质量 $n / k g$
损坏草莓质量 $m / k g$
草莓损坏的频率 $m / n$
（精确到 $0.001$ ）
…
…
$200$
$19.8$
$0.099$
$300$
$32.7$
$0.109$
$400$
$40.00$
$0.100$
$500$
$50.62$
$0.101$

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13. 如图，有一张长 $30 c m$ ，宽 $20 c m$ 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为 $x c m$ 的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的 $\frac{1}{3}$ ，则x的值为．

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14. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a - 2 b = c$ ， $b + c = - 4 a$ ，则二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像的对称轴为直线．

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15. 如图， $A C$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ，线段 $A O$ 交 $⊙ O$ 于点 $B$ ．过点 $B$ 作 $B D ∥ A C$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $C D$ ， $O C$ ，且 $O C$ 交 $D B$ 于点 $E$ ．若 $∠ C D B = 30 °$ ， $D B = 2 \sqrt{3} c m$ ．则图中阴影部分的面积为．

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三、解答题（共8小题，共75分．解答应写出过程）

16. 已知关于x的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} - 2 m x + m + 2 = 0$ ．

(1)、若方程有实数根，求m的取值范围；

(2)、在等腰 $△ A B C$ 中，一边长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值．

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17. 直线 $y = a x + b (a \neq 0)$ 称作抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 的关联直线．根据定义回答以下问题：

(1)、求证：抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 与其关联直线一定有公共点；

(2)、当 $a = 1$ 时，求抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 与其关联直线一定都经过的点的坐标（用字母 $b$ 表示）．

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18. 如图，在 $12 \times 12$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，给出了以格点（网格线的交点）为端点的 $△ A B C$ ．

(1)、以点B为旋转中心，将 $△ A B C$ 顺时针旋转 $180 °$ 得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，画出 $△ A^{'} B C^{'}$ ；

(2)、请你求出点A在（1）中运动的路径长．

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19. 小明和小刚在玩扑克牌的游戏，他们从一副牌中拿出了如图所示的五张扑克牌．

(1)、从一副扑克牌（包含大小王）中随机抽取一张扑克牌，抽到黑桃的概率是多少？

(2)、小明从上图所示的五张扑克牌中随机抽取一张，抽到数字 $6$ 的概率是多少？

(3)、小明先从上图所示的五张扑克牌中抽取一张，放回后小刚再抽取一张，求两张扑克牌上的数字之和小于 $10$ 的概率．

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20. 某电子公司，生产并销售一种新型电子产品，经过市场调查发现：每月生产 $x$ 台电子产品的成本 $y$ （元）由三部分组成，分别是生产线投入、材料成本、人工成本，其中生产线投入固定不变为 $2000$ 元，材料成本（单位：元）与 $x$ 成正比例，人工成本（单位：元）与 $x$ 的平方成正比例，在生产过程中得到数下数据：
$x$ （单位：台）
$20$
$40$
$y$ （单位：元）
$2104$
$2216$

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、若某月平均每台电子产品的成本 $26$ 元，求这个月共生产电子产品多少台？

(3)、若每月生产的电子产品均能售出，电子产品的售价也随着 $x$ 的增大而适当增大，设每台电子产品的售价为 $Q$ （单位：元），且有 $Q = m x + n$ （ $m < \frac{1}{100}$ 而且 $m$ 、 $n$ 均为常数），已知当 $x = 2000$ 台时， $Q$ 为 $35$ 元，且此时销售利润 $W$ （单位：元）有最大值，求 $m$ 、 $n$ 的值（提示：销售利润 $=$ 销售收入－成本费用）

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以点 $A$ 为圆心， $A C$ 长为半径作 $⊙ A$ ，交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $C A$ 延长线于点 $E$ ， $B F$ 是 $⊙ A$ 的切线，连接 $E F ， D F$ ．

(1)、求证： $E F ∥ A B$ ；

(2)、若 $⊙ A$ 的半径为 $2$ ，当四边形 $A D F E$ 为菱形时，求 $B F$ 的长．

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22. 如图，二次函数 $y ＝ a x^{2} - \frac{4}{3} x + c$ 的图象与x轴交于点 $A （ 3 ， 0 ）$ ，与y轴交于点 $B （ 0, - 2 ）$ ．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、若点P为抛物线上一动点（直线 $A B$ 上方），且 $S_{△ P B A} ＝ 4$ ，求点P的坐标．

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23. 已知 $R t △ A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，点 $D$ 是 $A C$ 边上一点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ ，点 $F$ 是 $B D$ 中点，连接 $E F$ ， $C F$ ．

(1)、如图①，线段 $E F$ ， $C F$ 之间的数量关系为， $∠ E F C$ 的度数为；

(2)、如图②，将 $△ A E D$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $α (0 ° < α < 30 °)$ ，请判断线段 $E F$ ， $C F$ 之间的数量关系及 $∠ E F C$ 的度数，并说明理由；

(3)、若 $△ A E D$ 绕点 $A$ 旋转的过程中，当点 $D$ 落到直线 $A B$ 上时，连接 $B E$ ，若 $B C = 3$ ， $A D = 2$ ，请直接写出 $B E$ 的长．

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草莓总质量 $n / k g$	损坏草莓质量 $m / k g$	草莓损坏的频率 $m / n$ （精确到 $0.001$ ）
…	…
$200$	$19.8$	$0.099$
$300$	$32.7$	$0.109$
$400$	$40.00$	$0.100$
$500$	$50.62$	$0.101$

$x$ （单位：台）	$20$	$40$
$y$ （单位：元）	$2104$	$2216$