吉林省白城市镇赉县2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-26 类型：月考试卷

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一、选择题（每小题2分，共12分）

1. 如图，将平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ B、 $a^{2} + 2 a^{2} = 3 a^{2}$ C、 ${(2 a)}^{3} = 6 a^{3}$ D、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 1$

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3. 如图数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 世卫组织宣布某种病毒最大直径约为 $0.00000012 m$ ，将0.00000012用科学记数法表示为（）

A、 $1.2 \times 1 0^{- 7}$ B、 $0.12 \times 1 0^{- 6}$ C、 $12 \times 1 0^{- 8}$ D、 $1.2 \times 1 0^{- 6}$

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5. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形 $A B C D$ ，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）

A、四边形 $A B C D$ 周长不变 B、 $A D = C D$ C、四边形 $A B C D$ 面积不变 D、 $A D = B C$

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6. 如图，已知 $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ， $D$ 为 $B$ $A$ 边上一点， $B D = 10$ ， $O$ 为线段 $B D$ 的中点，以点 $O$ 为圆心，以线段 $O B$ 的长为半径作弧，交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ，则 $B E$ 的长是（）

A、5 B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{5}$

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二、填空题（每小题3分，共24分）

7. 计算： $\sqrt{18} \times \sqrt{\frac{1}{2}} =$ .

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8. 已知方程 $2 x - 4 = 0$ ，则 $x =$ .

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9. 关于 $x$ 的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为.

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10. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角 $∠ 1 = 72 °$ ，则光线与纸板左上方所成的角 $∠ 2$ 的度数是.

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11. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $⊙ O$ 的周长等于 $6 π$ ，则正六边形的边长为.

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B, A C$ 上， $D E / / B C$ ， $A D : D B = 1 : 2$ ，则 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 的面积比为.

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13. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 交于点 $O$ ，分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，以 $A O$ 的长为半径画弧，分别交 $A B, C D$ 于点 $E, F$ .若 $B D = 4, ∠ C A B = 3 6^{∘}$ ，则图中阴影部分的面积为.（结果保留 $π$ ）

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14. 如图，传送带的一个转动轮的半径为 $18 c m$ ，如果转动轮绕着它的轴心转 $n^{\circ}$ 时，传送带上的物品 $A$ 被传送 $15 π c m$ （在传送过程中物品 $A$ 无滑动），则 $n =$ .

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三、解答题（每小题5分，共20分）

15. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x + 3}) \div \frac{x^{2} - 4}{x + 3}$ ，其中 $x = \sqrt{3} + 2$ .

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16. 某商场根据市场需求，采购了 $A, B$ 两种型号扫地机器人.已知 $B$ 型每个进价比 $A$ 型的2倍少400元.采购相同数量的 $A, B$ 两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元.请问 $A, B$ 两种型号扫地机器人每个的进价分别为多少元？

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17. 如图，甲、乙是两个可以自由转动的转盘，转盘均被分成三个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，指针的位置固定.同时转动两个转盘，请利用画树状图或列表的方法求甲、乙转盘停止后指针所指向的数字之和为奇数的概率.（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘）

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18. 如图， $B D / / A C, B D = B C$ ，点 $E$ 在 $B C$ 止，且 $B E = A C$ .求证： $∠ A B C = ∠ D$ .

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四、解答题（每小题7分，共28分）

19. 如图，在正方形网格中， $△ A B C$ 的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）.

(1)、在图①中，作 $△ A B C$ 关于点 $O$ 对称的 $△ A ^{'} B ^{'} C ^{'}$ ；

(2)、在图②中，作 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的 $△ A B^{'} C^{'}$ .

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20. 如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳 $B C$ 与地面保持垂直，吊臂 $A B$ 与水平线的夹角为 $6 4^{∘}$ ，吊臂底部 $A$ 距地面 $1.5 m$ .（结果精确到 $0.1 m$ .参考数据： $s i n 64^{\circ} \approx 0.90, c o s 64^{\circ} \approx 0.44, t a n 64^{\circ} \approx 2.05$ ）

(1)、当吊臂底部 $A$ 与货物的水平距离 $A C$ 为 $5 m$ 时，吊臂 $A B$ 的长约为 $m$ ；

(2)、如果该吊车吊臂的最大长度 $A D$ 为 $20 m$ ，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少米？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）

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21. 某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试成绩（一分钟跳绳次数）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
七、八年级学生一分钟跳绳成绩分析表
年级
平均数
中位数
众数
七
116
$a$
115
八
119
126
117
七年级学生一分钟跳绳成绩（数据分7组： $60 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 100$ ， $\dots$ ， $180 \leq x \leq 200$ ）在 $100 \leq x < 120$ 这一组的是：
100 101 102 103 105 106 108 109 109 110 110 111 112 113
115 115 115 116 117 119
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表中 $a =$ ；

(2)、在这次测试中，七年级甲同学的成绩为122次，八年级乙同学的成绩为125次，在各自年级所抽取的50名同学中，他们的测试成绩排名更靠前的是（选填“甲”或“乙”），理由是.

(3)、该校七年级共有500名学生，估计一分钟跳绳不低于116次的有多少人.

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22. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与一次函数 $y = m x + n$ 的图象相交于 $A (a, - 1)$ ， $B (- 1, 3)$ 两点.

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、设直线 $A B$ 交 $y$ 轴于点 $C, N (t, 0)$ 是 $x$ 轴正半轴上的一动点，过点 $N$ 作 $N M ⊥ x$ 轴交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象于点 $M$ ，连接 $C N, O M$ .若 $S_{四边形 C O M N} > 3$ ，求 $t$ 的取值范围.

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五、解答题（每小题8分，共16分）

23. 小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行.小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用 $30 m i n$ .小东骑自行车以 $300 m / m i n$ 的速度直接回家，两人离家的距离 $y$ （单位： $m$ ）关于各自离开出发地的时间 $x$ （单位： $m i n$ ）的函数图象如图所示.

(1)、家与图书馆之间的路程为 $m$ ，小玲步行的速度为 $m / m i n$ ；

(2)、求小东离家的距离 $y$ 关于时间 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、求两人相遇的时间.

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24. 在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 $A B C$ 和 $D E F$ 拼在一起，使点 $A$ 与点 $F$ 重合，点 $C$ 与点 $D$ 重合（如图①），其中 $∠ A C B = ∠ D F E = 90 ^{\circ}$ ， $B C = E F = 3 c m$ ， $A C = D F = 4 c m$ ，并进行如下研究活动.
活动一：将图①中的纸片 $D E F$ 沿 $A C$ 方向平移，连接 $A E, B D$ （如图②），当点 $F$ 与点 $C$ 重合时停止平移.

(1)、【思考】图②中的四边形 $A B D E$ 是平行四边形吗？请说明理由.

(2)、【发现】当纸片 $D E F$ 平移到某一位置时，小兵发现四边形 $A B D E$ 为矩形（如图③）.求 $A F$ 的长.

(3)、活动二：在图③中，取 $A D$ 的中点 $O$ ，再将纸片 $D E F$ 绕点 $O$ 按顺时针方向旋转 $α$ 度 $(0 \leq α \leq 90)$ ，连接 $O B, O E$ （如图④）.
【探究】当 $E F$ 平分 $∠ A E O$ 时，探究 $O F$ 与 $B D$ 的数量关系，并说明理由.

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六、解答题（每小题10分，共20分）

25. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 ^{∘}$ ， $A B = 6 c m, B C = 8 c m$ ，点 $D$ 从点 $A$ 出发以 $1 c m / s$ 的速度运动到点 $C$ 停止.作 $D E ⊥ A C$ 交边 $A B$ 或 $B C$ 于点 $E$ ，以 $D E$ 为边向右作正方形 $D E F G$ .设点 $D$ 的运动时间为 $t (s)$ .

(1)、请用含 $t$ 的代数式表示线段 $D E$ 的长；

(2)、当点 $F$ 在边 $B C$ 上时，求 $t$ 的值；

(3)、设正方形 $D E F G$ 与 $△ A B C$ 重叠部分图形的面积为 $S ({c m}^{2})$ ，当重叠部分图形为四边形时，求 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式.

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0, - 3)$ .过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线 $l, P$ 为抛物线上一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ l$ 于点 $Q, M$ 为直线 $l$ 上一点，其纵坐标为 $- m + 3$ ，连接 $P M$ ，设 $M Q$ 的长度为 $n (n > 0)$ .

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、求 $n$ 关于 $m$ 的函数解析式，并写出 $m$ 的取值范围；

(3)、直接写出 $n$ 随着 $m$ 的增大而减小时 $m$ 的取值范围；

(4)、直接写出当 $x$ 轴将 $△ P Q M$ 分成的两部分的面积比是 $9 : 16$ 时 $m$ 的值.

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年级	平均数	中位数	众数
七	116	$a$	115
八	119	126	117