四川省广安市岳池县2023-2024学年九年级下学期数学诊断考试（二）试卷

试卷更新日期：2024-04-26 类型：月考试卷

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一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上)

1. 实数2024的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2024}$ B、 $- \frac{1}{2024}$ C、-2024 D、2024

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2. 下列运算中，正确的是（）

A、 $3 a + 2 b = 5 a b$ B、 $a^{7} \div a^{6} = a$ C、 ${(2 b^{3})}^{4} = 8 b^{12}$ D、 $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$

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3. 数据显示，截至2月17日16时，广安市28家开放的A级旅游景区在春节假期累计接待游客约160万人次．将160万用科学记数法表示为（）

A、 $16 \times 10^{5}$ B、 $0.16 \times 10^{7}$ C、 $1.6 \times 10^{5}$ D、 $1.6 \times 10^{6}$

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4. 如图是某场比赛颁奖现场的领奖台的示意图，其主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 岳池顾县某豆干加工厂为调查一批豆干的品质，从中随机选取了6袋，记录其质量(单位：g)分别为 $60 ， 59 ， 61 ， 63 ， 62 ， 61$ ，则这组数据的统计量中，是61的是（）

A、只有众数、中位数 B、只有众数、平均数 C、只有中位数、平均数 D、众数、中位数、平均数

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6. 若关于 $x$ 的方程 $m x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则下列 $m$ 的值中，不符合要求的是（）

A、2 B、1 C、0 D、-1

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7. 将直线 $y = 2 x - 2$ 向上平移3个单位长度，所得直线经过点 $(- 6 ， a)$ ，则 $a$ 的值为（）

A、-11 B、-8 C、7 D、13

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8. 在 $A B C D$ 中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若 $B E = 6 ， A B = 5$ ，则 $A G =$ （）

A、10 B、8 C、6 D、4

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 6 ， ∠ B A C = 120^{\circ}$ ，以边 $B C$ 为直径作 $⊙ O$ ，与线段 $C A ， B A$ 的延长线分别交于点 $D ， E$ ，则 $\overset{⏜}{D E}$ 的长为（）

A、 $3 π$ B、 $2 π$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $2 \sqrt{3} π$

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $(3 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，下列结论：(1) $a b c >$ 0；(2) $9 a - 3 b + c = 0$ ；(3) $3 b + 2 c = 0$ ；(4)若 $A (a + 1 ， y_{1}) ， B (a + 2 ， y_{2})$ 两点在该二次函数的图象上，则 $y_{1} - y_{2} < 0$ ．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请把最简答案填写在答题卡相应位置)

11. 9的算术平方根是．

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12. 若在实数范围内 $\sqrt{\frac{m^{2} + 1}{2 m + 4}}$ 有意义，则 $m$ 的取值范围是

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13. 弹簧的长度 $y (c m)$ 与所挂物体的质量 $x (k g)$ 之间是一次函数关系，其图象如图所示，则弹簧未挂物体时的长度为 $c m$ ．

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14. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a x + 1}{x - 1} - 1 = 0$ 无解，则 $a$ 的值为

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15. 如图， $C D$ 是直线 $x = 1$ 上长度固定为1的一条动线段．已知点 $A (- 1 ， 0) ， B (0 ， 4)$ ，则 $B C + A D$ 的最小值为

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16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (0 ， 1)$ ，以 $O A$ 为边在右侧作等边三角形 $O A A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $O_{1}$ ，以 $O_{1} A_{1}$ 为边在右侧作等边三角形 $O_{1} A_{1} A_{2}$ ，再过点 $A_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $O_{2}$ ，以 $O_{2} A_{2}$ 为边在右侧作等边三角形 $O_{2} A_{2} A_{3} ， \dots$ ，按此规律继续作下去，得到等边三角形 $O_{2024} A_{2024} A_{2025}$ ，则点 $A_{2024}$ 的纵坐标为

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三、解答题(本大题共4个小题，第17小题5分，第18，19、20小题各6分，共23分

17. 计算： $| \sqrt{3} - 1 | - 4 s i n 30^{\circ} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + (4 - π)^{0}$ ．

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18. 先化简： $(x - 1 + \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，再从 $- 1 ， 0 ， \sqrt{2}$ 中选取合适的数作为 $x$ 的值，代入求值．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C$ 边的垂直平分线分别交 $A B ， A C$ 于点 $D ， O$ ，过点 $C$ 作 $C E ∥ B$ 交 $D O$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $A E ， C D$ ．求证：四边形 $A D C E$ 是菱形．

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20. 如图，反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象与一次函数 $y = k x + 4$ 的图象在第一象限交于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $A$ ，一次函数 $y = k x + 4$ 的图象分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $C$ ， $D$ ，且 $S_{△ O C D} = 2 ， O A = 2 O C$ ．

(1)、点 $D$ 的坐标为

(2)、求一次函数的解析式及 $m$ 的值；

(3)、直接写出当 $x > 0$ 时，关于 $x$ 的不等式 $k x + 4 > \frac{m}{x}$ 的解集．

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四、实践应用题(本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分

21. 某校在课后延时服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法，且每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D对应扇形的圆心角为 $150^{\circ}$ ．
请结合图中所给信息，解答下列问题：

(1)、这次被调查的学生共有人；若该校共有1500名学生加入了社团，则估计其中有名学生参加了计算机社团．

(2)、请将条形统计图补充完整．

(3)、在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四名同学平时的表现优秀，佮好其中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四名同学中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率．

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22. 每年的4月23日为“世界读书日”．为了迎接第30个世界读书日，某校计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个、乙种书柜3个，共需资金1440元．

(1)、甲、乙两种书柜每个的进价分别是多少元？

(2)、若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，一共有哪几种购买方案？

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23. 如图1，某款台灯由底座、支丵臂 $A B$ 、连杆 $B C$ 、悬臂 $C D$ 和安装在 $D$ 处的光源组成．如图2是该款台灯放置在水平桌面上的侧面示意图，已知支撑臂 $A B ⊥$ 桌面 $l ， A B = 22 c m ， B C = 35 c m ， C D = 40 c m$ ，固定 $∠ A B C = 143^{\circ}$ ，可通过调试悬臂 $C D$ 与连杆 $B C$ 的夹角提高照明效果．

(1)、悬臂端点 $C$ 到桌面 $l$ 的距离为多少厘米？

(2)、已知当光源 $D$ 到桌面 $l$ 的距离为 $30 c m$ 时照明效果较好，求此时悬臂 $C D$ 与连杆 $B C$ 的夹角 $∠ B C D$ 的度数．
(参考数据： $s i n 53^{\circ} \approx 0.8 ， c o s 53^{\circ} \approx 0.6 ， t a n 53^{\circ} \approx 1.3$ )

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24. 如图，网格中每个小正方形的边长为1．
请你认真观察图1中的三个网格中的黑色部分构成的图案，解答下列问题：

(1)、这三个图案都具有以下共同特征：都是对称图形，都不是对称图形；

(2)、在图2中选一个白色的小正方形并涂黑，使图2中黑色部分是轴对称图形；

(3)、请在图3中设计出一个面积为4的图案，且具备(1)中的特征(不与图1中所给图案相同)．

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五、推理论证题(9分)

25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，以 $A D$ 为直径作 $⊙ O$ ，分别交 $A B ， A C$ 于点 $E ， F$ ，连接 $E F$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，连接 $O B$ 交 $E F$ 于点 $P$ ，连接 $D F$ ．

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $O G = 3 ， E G = 4$ ，求：
① $t a n ∠ D F E$ 的值；
②线段 $P G$ 的长．

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六、拓展探究题(10分)

26. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于 $A (- 4 ， 0) ， B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C (0 ， 4)$ ．

(1)、求抛物线的函数解析式．

(2)、点 $D$ 在线段 $O A$ 上运动，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，与 $A C$ 交于点 $Q$ ，与抛物线交于点 $P$ ，连接 $A P ， C P$ ，求四边形 $A O C P$ 的面积的最大值．

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在点 $M$ ，使得以点 $A ， C ， M$ 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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