湖北省恩施市沙地、崔坝、双河、新塘四校2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2024-04-26 类型：期中考试

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一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1. 若二次根式 $\sqrt{m - 2024}$ 在实数范围内有意义，则m取值范围是（）

A、 $m = 2024$ B、 $m > 2024$ C、 $m \leq 2024$ D、 $m \geq 2024$

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2. 下列各式中属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{x^{2} y^{5}}$ B、 $\sqrt{0.5}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{x^{2} + 1}$

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3. 下列计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{15} \div \sqrt{3} = 5$ D、 $\sqrt{15} \times \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$

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4. 下列命题中逆命题成立的有（）
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 下列条件中，不能判定四边形 $A B C D$ 为平行四边形的是（）

A、 $A B ∥ C D, A D = B C$ B、 $∠ A = ∠ C, ∠ B = ∠ D$ C、 $A B = C D, A D = B C$ D、 $A B ∥ C D, A B = C D$

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6. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 相交于点O ，点E为 $A B$ 中点， $A E = 4, E O = 3$ ，则平行四边形 $A B C D$ 的周长为（）

A、12 B、14 C、24 D、28

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7. 如图，有一个水池，水面是边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（）

A、7.5尺 B、8尺 C、8.5尺 D、9尺

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8, B C = 4$ ．将矩形沿 $A C$ 折叠， $C D^{'}$ 与 $A B$ 交于点F ，则 $A F : B F$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 如图， $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ C B A, C E$ 平分 $△ A C B$ 的外角， $A D ⊥ B D$ 于D ，交 $B C$ 于点 $F, A E ⊥ C E$ 于E ，交 $B C$ 的延长线于点 $G, A B = 6, B C = 10, D E = 6$ ，则 $A C =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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10. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $R t △ O A_{1} C_{1}, R t △ O A_{2} C_{2}, R t △ O A_{3} C_{3}, R t △ O A_{4} C_{4} ⋯$ 的斜边都在坐标轴上， $∠ A_{1} O C_{1} = ∠ A_{2} O C_{2} = ∠ A_{3} O C_{3} = ∠ A_{4} O C_{4} = ⋯ = 30 °$ ．若点 $A_{1}$ 的坐标为 $(3, 0), O A_{1} = O C_{2}, O A_{2} = O C_{3}, O A_{3} = O C_{4} ⋯$ ，则依此规律，点 $A_{2024}$ 的纵坐标为（）

A、0 B、 $3 \times {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2023}$ C、 $- \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ D、 $- 3 \times {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2023}$

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二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11. 计算： $(\sqrt{3})^{2} =$ ． $\sqrt{(- 7)^{2}} =$ $\sqrt{20} =$

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12. 若 $\sqrt{24}$ 与最简二次根式 $\sqrt{m + 1}$ 可以合并，则 $m =$

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 5, A C = 12$ ，点P是 $B C$ 边上的一个动点， $P M ⊥ A B$ 于点 $M, P N ⊥ A C$ 于点N ，则 $M N$ 的最小值为．

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14. 如图，铁路 $M N$ 和公路 $P Q$ 在点O处交汇， $∠ Q O N = 30 °$ ，公路 $P Q$ 上A处距离O点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路 $M N$ 上沿 $M N$ 方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为s．

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15. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O, A E$ 平分 $∠ B A D$ ，分别交 $B C 、 B D$ 于点E、P ，连接 $O B, ∠ A D C = 60 °$ ， $A B = \frac{1}{2} B C = 4$ ，则下列结论：① $∠ C A D = 30 °$ ， ② $O E = \frac{1}{4} A D$ ， ③ $B D = 4 \sqrt{6}$ ， ④ $S_{△ B E O} = 2 \sqrt{3}$ ．其中正确的有．（只填序号）

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三、解答题（共9小题，满分75分）

16. 计算：

(1)、 $\sqrt{45} + \sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{125}$ ；

(2)、 $\sqrt{1 \frac{2}{3}} \div \sqrt{2 \frac{1}{3}} \times \sqrt{1 \frac{2}{5}}$ ．

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17. 若 $a = \sqrt{5} + 2 ， b = \sqrt{5} - 2$ ．

(1)、求 $a^{2} - b^{2}$ ．

(2)、求 $a^{3} b + a b^{3}$ ．

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18. 已知：如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E、F在对角线 $A C$ 上，且 $A F = C E$ ，
求证：四边形 $B F D E$ 是平行四边形．

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19. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，点O在 $A C$ 边上运动，过O作直线 $M N ∥ B C$ 交 $∠ B C A$ 内角平分线于E点，外角平分线于F点．

(1)、求证： $O E = O F$ ；

(2)、当点O运动到何处时，四边形 $A E C F$ 是矩形，请说明理由？

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20. 消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到50米（即 $A A^{'} = B B^{'} = 50$ 米），消防车高3.4米，救人时云梯伸长至最长，在完成从33.4米（即 $A^{'} M = 33.4$ 米）高的A处救人后，还要从51.4米（即 $B^{'} M = 51.4$ 米）高的B处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离 $A B$ 为多少米？

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21. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：

(1)、在图中已知点A ，画一个 $△ A B C$ ，使 $A B = \sqrt{13}, B C = 3, A C = \sqrt{10}$ ．

(2)、请在网格中画出 $▱ A D B C$ ．

(3)、请用无刻度的直尺画出图中 $△ A B C$ 中 $A C$ 边上高 $B M$ （结果用实线表示，其他辅助线用虚线表示），且 $B M =$ ．

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22. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O ， M、N分别是边 $A C$ 、 $B D$ 的中点．

(1)、求证： $M N ⊥ B D$ ；

(2)、当 $∠ B C A = 15 °$ ， $A C = 10 c m$ ， $O B = O M$ 时，求 $M N$ 的长．

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23. 【阅读材料】
我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当 $a > 0$ 时， $∵ a + \frac{1}{a} = (\sqrt{a})^{2} - 2 \sqrt{a} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} + {(\frac{1}{\sqrt{a}})}^{2} + 2 \sqrt{a} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} = {(\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}})}^{2} + 2 \geq 2$ ，
∴当且仅当 $\sqrt{a} = \frac{1}{\sqrt{a}}$ 即 $a = 1$ 时， $a + \frac{1}{a}$ 取得最小值，最小值为2．
【模仿探究】
请利用以上结果解决下面的问题：

(1)、当 $a > 0$ 时，求 $a + \frac{4}{a}$ 的最小值，并求出此时a的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，求 $\frac{4 a^{2} + a + 4}{a}$ 的最小值，并求出此时a的值；

(3)、【应用意识】
如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如 $R t △ A C B$ 的蔬果园，要求蔬果园的面积为20平方米，斜边 $A B$ 需要用栅栏围上，求栅栏 $A B$ 的最小值．

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24. 如图，在四边形 $A O C D$ 中， $A (0, a), C (c, 0), D (d, a)$ ，且 $\sqrt{d - 24} + a^{2} - 8 a + 16 + | 2 c - 40 | = 0$ ．

(1)、写出A ， C ， D三点的坐标．

(2)、点P从点A出发，以 $1 c m / s$ 的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 $3 c m / s$ 的速度向点O运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设点P ， Q运动的时间为 $t s$ ．
①求t为多少时， $P Q = C D$ ．
②如图2，当 $P Q ∥ C D$ 时，点E为 $C D$ 的中点，点F在 $P D$ 上， $∠ P F Q = 2 ∠ E Q C$ ，求点F的坐标．

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