湖北省武汉市江岸区2023-2024学年八年级下学期期中数学考试试卷

试卷更新日期：2024-04-26 类型：期中考试

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1. 若二次根式 $\sqrt{x - 5}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 5$ B、 $x ≥ 5$ C、 $x < 5$ D、 $x \leq 5$

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2. 下列根式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{16}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{10}$

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3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A、1，2，3 B、2，3，4 C、5，12，13 D、4，5，6

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $4 + 3 \sqrt{2} = 7 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3} \times \sqrt{7} = \sqrt{21}$ C、 $5 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 5$ D、 $\sqrt{8} + \sqrt{2} = \sqrt{10}$

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5. 矩形、菱形都具有的性质是（）

A、对角线互相平分 B、对角线互相垂直 C、对角线互相平分且相等 D、对角线平分一组对角

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 2$ ， $A C = 1$ ， $B C$ 在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心， $A B$ 的长为半径画弧，交数轴于点D ，则点D表示的数是（）

A、 $1 - \sqrt{5}$ B、 $2 - \sqrt{5}$ C、 $1 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5} - 1$

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7. 如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $K$ 是底边 $B C$ 上的一动点（不与点 $B 、 C$ 重合），过点 $K$ 分别作 $A B 、 A C$ 的平行线 $K H 、 K Q$ ，交 $A C 、 A B$ 于点 $H 、 Q$ ，则下列数量关系一定正确的是（）

A、 $A Q + Q K = 2 B Q$ B、 $K H + K Q = B C$ C、 $K H + K Q = A C$ D、 $A C - A Q = B K$

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8. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 是对角线 $B D$ 上的两点，若添加① $B E ∥ D F$ ；② $A F = C E$ ；③ $B E = D F$ ；④ $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $D F$ 平分 $∠ A D C$ 中任意一个条件能够使 $△ A B E ≌ △ C D F$ ，则共有几种添法（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（）

A、2025 B、2024 C、 $2^{2023}$ D、 $2^{2024} - 1$

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10. 如图， $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于 $O$ 点， $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ C A D = 15 °$ ， $A C = 2 \sqrt{3} + 2$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）

11. 若最简二次根式 $\sqrt{2 a - 3}$ 与 $\sqrt{5}$ 是同类二次根式，则a的值为.

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12. 化简： $\sqrt{\frac{2}{3}} =$ ．

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13. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $A C$ 交 $B D$ 于 $O$ ， $C E ⊥ A B$ 于 $E$ ，连接 $O E$ ，若 $∠ A B C = 80 °$ ，则 $∠ O E C$ 的度数为°．

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14. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为 $∠ B A F$ 时，顶部边缘 $B$ 处离桌面的高度 $B C$ 为 $7 c m$ ，此时底部边缘 $A$ 处与 $C$ 处间的距离 $A C$ 为 $24 c m$ ，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角 $∠ D A F = 120 °$ 时（ $D$ 是 $B$ 的对应点），则线段 $C E$ 的长为 $c m$ ．

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15. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A D = 18 ， A B = 24$ ，点E为边 $D C$ 上的一个动点， $△ A D^{'} E$ 与 $△ A D E$ 关于直线 $A E$ 对称．当 $△ C D^{^{'}} E$ 为直角三角形时， $D E$ 的长为．

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16. 四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C = 10$ ， $B D = 14$ ，点 $M 、 N 、 G$ 分别是 $A D 、 B C 、 A B$ 的中点，连接 $M N$ ，取 $M N$ 中点 $P$ ，连接 $G P$ ，则 $4 G P^{2} + M N^{2}$ 的值为．

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三、解答题（共8小题，共72分）

17. 计算

(1)、 $2 \sqrt{3} - 5 \sqrt{12} + \sqrt{48}$

(2)、 $(1 + \sqrt{5}) (\sqrt{5} - 2)$

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18. 先化简，再求值． $(a + \sqrt{3}) (a - \sqrt{3}) - a (a - 4)$ ，其中 $a = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ．

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19. 如图所示，在 $▱ A B C D$ 中，点E ，点F分别是 $A D ， B C$ 的中点，连接 $B E ， D F$ ．

(1)、求证：四边形 $B E D F$ 是平行四边形；

(2)、若 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $A B = 3$ ，求平行四边形 $A B C D$ 的周长．

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20. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC ， ∠ABC＝90°，求作：矩形ABCD ．
作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；
③连接AD ， CD ．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程．

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，下结论）

(2)、为什么这样作出的四边形是矩形？请写出证明过程．

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21. 如图1，在每个边长为1的小正方形的网格中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均在格点上．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

(1)、画出以 $A B$ 为边的菱形 $A B C D$ ；

(2)、直接写出点 $D$ 到 $A B$ 的距离；

(3)、在 $C D$ 上画点 $E$ ，使 $∠ A B E = 45 °$ ；

(4)、如图2，点 $F$ 为 $A B$ 与格线交点，取 $A F$ 中点 $G$ ，连 $A C$ ，在 $A C$ 上画点 $H$ ，使 $G H = G F$ ．

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22. 如图，平行四边形 $A B C D$ 对角线 $A C 、 B D$ 交于点O ，点E在 $A C$ 上，点F在 $B E$ 延长线上，连接 $D F$ ，且 $E F = B E$ ， $E F$ 与 $C D$ 交于点G ．

(1)、求证： $D F ∥ A C$ ；

(2)、若 $A B = B E = 2$ ， $∠ F = 45 °$ ， G恰好是 $C D$ 的中点，求 $D F$ 的长．

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23. 已知菱形 $A B C D$ ， $∠ A B C = α$ ．

(1)、如图1， $α = 60 °$ ，点E在边 $B C$ 上，点F在边 $C D$ 上， $∠ E A F = 60 °$ ，求证： $B E = C F$ ；

(2)、如图2， $α = 90 °$ ，点F在边 $B C$ 上，点E在边 $A B$ 上， $∠ E D F = 45 °$ ，过点F作 $F N ⊥ D F$ 交 $D E$ 的延长线于点N ，连接 $A N$ ，过点N作 $N H ⊥ A N$ 交直线 $B C$ 于点H ，求证：点F为 $H C$ 的中点；

(3)、如图3， $α = 60 °$ ，点E为边 $A B$ 的中点，点F在边 $B C$ 上， $∠ E D F = 30 °$ ，直接写出 $\frac{B F}{C F}$ 的值．

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24. 如图：矩形 $O A B C$ 的顶点 $A$ 、 $C$ 分别在坐标轴上，点 $B$ 的坐标为 $(a, b)$ ．

(1)、若 $a$ 、 $b$ 满足： $\sqrt{a - 8} + \sqrt{6 - b} = 0$ ，直接写出点 $B$ 的坐标；

(2)、已知： $E O$ 、 $E A$ 分别平分 $∠ C O A$ 、 $∠ B A O$ ，连 $C E$ 并延长交边 $A B$ 于点 $F$ ，若点 $F$ 为边 $A B$ 中点，求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(3)、点 $M$ 、 $D$ 分别在边 $A B$ 、 $y$ 轴上， $C M$ 、 $B D$ 相交于 $N$ ，点 $B$ 的坐标为 $(3, b)$ ， $B M = 1$ ，若 $∠ B N M = 45 °$ ，求 $C D$ 的长．

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