广东省深圳市蛇口育才教育集团2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2024-04-26 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个选项是正确的．）

1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用.瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产.下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）

A、 $6 a^{2} b^{2} = 3 a b \cdot 2 a b$ B、 $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ C、 $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ D、 $x^{2} - x - 4 = x (x - 1) - 2$

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3. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a ， b ，则下列不等式成立的是（）

A、 $- 3 a > - 3 b$ B、 $a + 3 > b + 3$ C、 $\frac{a}{2} > \frac{b}{2}$ D、 $a - d > b - d$

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4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）

A、2，3，4 B、1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ C、4，6，8 D、5，12，15

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5. 如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中 $O A = O B$ ，若剪刀张开的角为40°，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、40° B、50° C、60° D、70°

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6. 某学校一角的形状如图所示，其中AB ， BC ， CD表示围墙，若在线段BC右侧的区域中找到一点P修建一座朗读亭，使点P到三面墙的距离都相等．则点P在（）

A、线段AC、BD的交点 B、线段AB、BC垂直平分线的交点 C、线段BC、CD垂直平分线的交点 D、 $∠ A B C$ 、 $∠ B C D$ 角平分线的交点

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7. 如图， $△ A B C$ 的周长为16，将 $△ A B C$ 沿BC方向平移2个单位得 $△ D E F$ ，则四边形ABFD的周长为（）

A、18 B、20 C、22 D、24

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2 B C = 8$ ，小田同学利用尺规按以下步骤作图：
①分别以点A ， B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧分别交于点M ， N；
②作直线MN ，交AC边于点D ．则线段CD的长为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C ，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料x（kg），则可列不等式组为（）
原料
甲
乙
维生素
600单位
100单位
原料价格
8元
4元

A、 ${\begin{cases} 600 x + 100 x \geq 4200 \\ 8 (10 - x) + 4 (10 - x) \leq 72 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} 600 (10 - x) + 100 x > 4200 \\ 8 (10 - x) + 4 x < 72 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} 600 x + 100 (10 - x) \geq 4200 \\ 8 x + 4 (10 - x) \leq 72 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} 600 x + 100 (10 - x) < 4200 \\ 8 x + 4 (10 - x) > 72 \end{cases}$

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10. 如图，把一张长方形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到 $△ E C F$ ．若 $B C = 1$ ，则EF的长度为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 分解因式： $a^{2} b - a^{2} =$ ．

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12. 平面直角坐标系中，点 $(3, - 4)$ 关于坐标原点O成中心对称的点的坐标是．

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13. 如果一元一次不等式组 ${\begin{cases} x > 2 \\ x > a \end{cases}$ 的解集为 $x > 2$ ，那么a的取值范围是．

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14. 如图，“三等分角器”是由两根有槽的棒PA ， PB组成，两根棒在P点相连，并可绕点P转动，C点固定，O ， A可在槽内滑动， $O A = O C = P C$ ，若 $∠ A O B = 60 °$ ，则 $∠ P$ 的度数为°．

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15. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 6$ ， D是线段AB上一个动点，以BD为边在 $△ A B C$ 外作等边 $△ B D E$ ．若F是DE的中点，当CF取最小值时， $△ B D E$ 的周长为．

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三、解答题（本大题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题9分）

16. 按要求计算

(1)、计算： ${(- 1)}^{2023} + {(- \frac{1}{3})}^{- 2} - {(π - \sqrt{10})}^{0}$

(2)、因式分解： $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2}$ ．

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17. 解不等式组： ${\begin{cases} 2 x + 3 < x + 4 \\ \frac{x - 3}{2} \leq \frac{2 x}{3} - 1 \end{cases}$ ，并写出该不等式组的所有整数解．

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18. 如图，在平面直角坐标系内， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1, - 2)$ ， $B (4, - 1)$ ， $C (3, - 3)$ ．

(1)、平移 $△ A B C$ ，平移后点A的对应点 $A_{1}$ 的坐标为 $(- 4, 1)$ ，请画出平移后对应的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中 $B_{1}$ 的坐标为；

(2)、将 $△ A B C$ 绕点B顺时针旋转90°，请画出旋转后对应的 $△ A_{2} B C_{2}$ ，旋转过程中，线段BA扫过的面积为．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，过CA的延长线上一点D ，作 $D E ⊥ B C$ ，垂足为E ，交边AB于点F ．

(1)、求证： $△ A D F$ 是等腰三角形；

(2)、若 $A D = 13$ ， $B E = 5$ ， F为AB的中点，求EF和DF的长．

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20. 某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过3000kg．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为440kg，3个甲部件和4个乙部件质量相同．

(1)、请分别求出1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少千克？

(2)、每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为160kg，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？

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21. 在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．结合所学研究函数的方法，我们研究函数 $y = - 2 | x | + b$ 性质及其应用，请根据下表信息，按要求完成下列各小题．
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…

y
…
－6
－4
m
0
2
n
－2
－4
－6
…

(1)、 $b =$ ， $m =$ ， $n =$ ；

(2)、请在平面直角坐标系中画出该函数的图象；

(3)、判断下列关于该函数性质的说法是否正确（正确的打√，错误的打×）；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．（）
②当 $x > 0$ 时，y随x的增大而减小；当 $x < 0$ 时，y随x的增大而增大．（）

(4)、请在同一平面直角坐标系中再画出函数 $y = 2 x - 4$ 的图象，结合函数 $y = - 2 | x | + b$ 的图象，直接写出不等式 $- 2 | x | + b > 2 x - 4$ 的解集．

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22. 阅读材料，并解决问题：

(1)、方法指引
如图①等边 $△ A B C$ 内有一点P ，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求 $∠ A P B$ 的度数．
解决本题，我们可以将 $△ A B P$ 绕顶点A旋转到 $△ A C P^{'}$ 处，此时 $△ A C P^{'} ≌ △ A B P$ ，连接 $P^{'} P$ ， $△ P A P^{'}$ 是三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出 $∠ A P B =$ °；

(2)、知识迁移
已知如图②， $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 90 °$ ， $A B = A C$ ， E、F为BC上的点且 $∠ E A F = 45 °$ ，求证： $E F^{2} = B E^{2} + F C^{2}$ ；

(3)、能力提升
如图③，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 1$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，点O为 $R t △ A B C$ 内一点，连接AO ， BO ， CO ，且 $∠ A O C = ∠ C O B = ∠ B O A = 120 °$ ，求出 $O A + O B + O C$ 的值．

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原料	甲	乙
维生素	600单位	100单位
原料价格	8元	4元