浙江省J12共同体联盟校2023-2024学年八年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2024-04-26 类型：期中考试

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一、选择题：(本题有10小题，每题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选或错选均不得分．)

1. 下列图案是我国传统文化中的“福禄寿喜”图，其中中心对称图形是( )

A、 B、 C、 D、

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2. 二次根式 $\sqrt{a - 1}$ 中字母 $a$ 的取值范围是( )

A、 $a > 1$ B、 $a \geq 1$ C、 $a \leq 1$ D、 $a < 1$

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3. 若方程 $x^{2} + 2 x - k = 0$ 有实数根，则 $k$ 值可以是( )

A、-2 B、 $- \sqrt{2}$ C、-1 D、 $- \frac{3}{2}$

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4. 一家鞋店在一段时间内销售了某种运动鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码 $(c m)$
23
23.5
24
24.5
25
25.5
26
销售量(双)
1
2
5
11
7
3
1
若每双鞋的销售利润相同，下列统计量中店主最关注的是( )

A、中位数 B、方差 C、平均数 D、众数

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5. 下列计算正确的是( )

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{9} = \pm 3$ C、 $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}} = 2 - \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2} \div \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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6. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 可以通过配方转化为 $(x - p)^{2} = 5$ 的形式，则 $m$ 的值是( )

A、-1 B、1 C、5 D、9

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7. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 $A B C D$ 三个顶点坐标分别为 $A (- 1 ， - 2) ， C (5 ， 2) ， D (1 ， 1)$ ，则顶点 $B$ 的坐标为( )

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(4 ， - 1)$ C、 $(3 ， - 1)$ D、 $(3 ， - 2)$

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8. 下列说法正确的是( )

A、一组数据 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， \dots x_{n}$ ，都减去 $m$ 后的平均数为 $x$ ，方差为 $s^{2}$ ，则这组数据的平均数为 $m + \overline{x}$ ，方差为 $s^{2}$ B、已知一组数据的方差计算公式为 $s^{2} = \frac{1}{5} ({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {x_{3}}^{2} + x 4^{2} + {x_{5}}^{2} - 20)$ ，则这组数据的平均数为4 C、方差反映的是一组数据的波动大小，方差的值一定是正数 D、数据 $1 ， 2 ， 2 ， 4 ， 4 ， 6$ 的众数是4

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9. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + c) x^{2} + 2 b x + (a + c) = 0$ 有两个相等的实数根，则下列说法正确的是( )

A、1可能是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根 B、0一定不是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根 C、-1不可能是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根 D、1和-1都是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根

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10. 已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为 $60^{\circ} ， M ， N$ 是平行四边形边上的两点，且 $M N$ 将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段 $M N$ 的长度取值范围是( )

A、 $\sqrt{3} \leq M N \leq \sqrt{15}$ B、 $\frac{3}{2} \leq M N \leq \sqrt{15}$ C、 $\sqrt{3} \leq M N \leq \sqrt{19}$ D、 $\frac{3}{2} \leq M N \leq \sqrt{19}$

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二、填空题：(本题有6小题，每题3分，共18分．)

11. 当 $x = 2$ 时，二次根式 $\sqrt{6 - x}$ 的值为

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12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x - 2 = 0$ 有一个根为2，则 $b$ 的值为

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13. 若 $n$ 边形的每个内角都为 $144^{\circ}$ ，则 $n$ 等于

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14. 《南宋数学家杨辉在田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阁与长共六十步，问阔及长各几步？"其大意是：长方形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步？若设宽为 $x$ 步，则根据题意可列方程为.

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15. 已知5个正数 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ， a_{5}$ 的平均数是 $a$ ，且 $a_{1} > a_{2} > a_{3} > a_{4} > a_{5}$ ，则数据 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， 0 ， a_{4}$ ， $a_{5}$ 的平均数是，中位数是

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16. 如图， $A B C D$ 中， $∠ B = 45^{\circ} ， A B = 2 \sqrt{2} ， B C - 6$ ，点 $E$ 为 $A B$ 边上的中点， $F ， G$ 为边 $A D$ 上的两个动点，且 $F G = 1$ ，则五边形 $B C G F E$ 的周长最小值为

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三、解答题：(本题有8小题，共72分．)

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{12} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27}$ ；

(2)、 $(\sqrt{2} - 1)^{2} - (\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})$ ．

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18. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ；

(2)、 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ ．

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19. 某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表：
本数（本） 0 1 2 3 4 ≥5
人数（人） 1 9 21 7 2 0

(1)、全班同学暑假读数学课外书本数的众数是，中位数是

(2)、求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差．

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20. 2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型．某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出256件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出400件．

(1)、求十一、十二这两个月的月平均增长率．

(2)、为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价每降低1元，可多售出5件，要使商店仍能获利9000元，每件模型应降价多少元？

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21. 如图，在 $A B C D$ 中， $M ， N$ 是对角线 $B D$ 的三等分点．

(1)、求证：四边形 $A M C N$ 是平行四边形；

(2)、若 $A M ⊥ B D ， A D = 13 ， B D = 18$ ，求 $C D$ 的长．

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22. 小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 2 x + 3$ ，由于 $x^{2} - 2 x + 3 = (x - 1)^{2} + 2$ ，所以当 $x - 1 = 0$ 时，多项式 $x^{2} - 2 x + 3$ 有最小值；多项式 $- x^{2} - 2 x + 3$ ，由于 $- x^{2} - 2 x + 3 = - (x + 1)^{2} + 4$ ，所以当 $x + 1 = 0$ 时，多项式 $- x^{2} - 2 x + 3$ 有最大值．于是小慧给出一个定义：关于 $x$ 的二次多项式，当 $x - t = 0$ 时，该多项式有最值，就称该多项式关于 $x = t$ 对称．例如 $x^{2} - 2 x + 3$ 关于 $x = 1$ 对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：

(1)、多项式 $x^{2} + 6 x + 5$ 关于 $x =$ 对称；

(2)、若关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 2 a x + 4$ 关于 $x = 4$ 对称，则 $a =$

(3)、关于 $x$ 的多项式 $x^{2} + a x + c$ 关于 $x = - 1$ 对称，且最小值为3，求方程 $x^{2} + a x + c = 7$ 的解．

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23. 根据素材，探索完成任务．

如何裁剪出符合要求的长方形彩纸？
素材1	图1是一张等腰直角三角形彩纸， $A C = B C = 30 c m$ ．甲、乙、丙三名同学分别用这样的彩纸试图截前出不一样的长方形，并使长方形的四个顶点都在 $△ A B C$ 的边上．
素材2	甲同学按图2的方式栽剪，想裁出两边长之比为 $1 ： 2$ 的长方形；乙同学按图3的方式裁剪，想裁出面积为 $125 {cm}^{2}$ 的长方形；丙同学想裁出面积最大的正方形．
问题解决
任务1	请帮助甲同学计算此长方形面积
任务2	请求出符合乙同学裁剪方案的方形的长与宽．
任务3	请帮助丙同学在图4和图5中各画出一种裁剪方案，并通过计算说明哪种方案裁得的正方形面积最大

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24. 我们定义：对角线相等的四边形为等对四边形．

(1)、尝试：如图1是 $6 \times 7$ 方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为5的等对四边形，要求四个顶点均在格点上；

(2)、推理：如图2，已知 $△ A B C$ 中，以 $A B$ 和 $A C$ 为边在 $△ A B C$ 的外侧分别作等边三角形 $△ A B D$ 和 $△ A C E$ ，连结 $D E$ ．求证：四边形 $B C E D$ 是等对四边形：

(3)、拓展：如图3，已知四边形 $A B C D$ 是等对四边形， $A B = 4 ， B C = 2 \sqrt{7} ， C D = 2 \sqrt{3} ， ∠ B O C = 120^{\circ}$ ，求边 $A D$ 的长．

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鞋的尺码 $(c m)$	23	23.5	24	24.5	25	25.5	26
销售量(双)	1	2	5	11	7	3	1

本数（本）	0		1			2			3			4		≥5
人数（人）	1		9			21			7			2		0