浙江省J12共同体联盟校2023-2024学年九年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2024-04-26 类型：期中考试

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一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中只有一项符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑，不选、多选、错选，均不给分)

1. 下列算式中，运算结果最小的是（）

A、 $- 2 + 3$ B、 $- 2 - 3$ C、 $- 2 \times 3$ D、 $- 2 \div 3$

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2. 截至2023年底，我国高速公路通车里程已达177000公里，稳居世界第一．数据177000用科学记数法可表示为（）

A、 $0.177 \times 10^{6}$ B、 $1.77 \times 10^{5}$ C、 $17.7 \times 10^{4}$ D、 $177 \times 10^{3}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $m^{6} + m^{2} = m^{8}$ B、 $m^{6} \cdot m^{2} = m^{12}$ C、 $m^{6} \div m^{2} = m^{3}$ D、 ${(m^{6})}^{2} = m^{12}$

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4. 圆圆同学先用橡皮泥做了个圆柱，再用手工刀切去一部分(如下图)，则其左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 将一副三角板按如图方式放置，点 $B$ 在边 $D E$ 上，点 $C$ 在边 $F D$ 的延长线上， $A B ∥ C F ， ∠ F = ∠ A C B = 90^{\circ}$ ，则 $∠ D B C$ 的度数为（）

A、 $25^{\circ}$ B、 $18^{\circ}$ C、 $15^{\circ}$ D、 $10^{\circ}$

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6. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C ， D$ 在 $⊙ O$ 上．若 $∠ A B C = 60^{\circ}$ ，则 $∠ D$ 的度数为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $35^{\circ}$ C、 $40^{\circ}$ D、 $25^{\circ}$

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7. 九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著，它系统地总结战国、秦、汉时期的数学成就，标志着以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成．《九章算术》卷第七“盈不足”原文如下：今有共买琎(注释：琎(jīn)，像玉的石头)，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，如果每人出8钱，还多出3钱；如果每人出7钱，则还差4钱．问人数、琎价各是多少？若设有 $x$ 人，继价为 $y$ 钱，依题意得（）

A、 $\{\begin{array}{l} 8 x + 3 = y \\ 7 x - 4 = y \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 8 x - 3 = y \\ 7 x + 4 = y \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} \frac{y}{8} - 3 = x \\ \frac{y}{7} + 4 = x \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} \frac{y}{8} + 3 = x \\ \frac{y}{7} - 4 = x \end{array}$

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8. 已知代数式 $\sqrt{a - 2023} - \sqrt{2024 - a}$ ，下列说法不正确的是（）

A、代数式有最大值 B、代数式有最小值 C、代数式值随 $a$ 的增大而增大 D、代数式值不可能为0

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9. 如图，已知直线 $a ∥ b ∥ c$ ，直线 $m$ 分别交直线 $a 、 b 、 c$ 于点 $A 、 B 、 C$ ，直线 $n$ 分别交直线 $a 、 b 、 c$ 于点 $D 、 E 、 F$ ，若 $A B = 1 ， A D = B C = 2$ ，则 $\frac{B E}{C F}$ 的值（）

A、大于 $\frac{1}{3}$ B、等于 $\frac{1}{3}$ C、小于 $\frac{1}{3}$ D、不能确定

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10. 方方同学研究二次函数 $y = (x - 3) (m x + 3 m - n) (m ， n$ 为常数，且 $m \neq 0)$ 后，给出以下(1)和(2)两个结论：①若 $y ⩽ 0$ 恒成立，则 $6 m - n = 0$ ；②若 $6 m - n = 0$ ，则 $y ⩽ 0$ 恒成立．则下列说法正确的是（）

A、①②都正确 B、①正确，②错误 C、①错误，②正确 D、①②都错误

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二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

11. 因式分解： $2 m^{2} - 32 =$

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12. 如图，电路图上有4个开关 $A ， B ， C ， D$ 和1个小灯泡，同时闭合开关 $A ， B$ 或同时闭合开关 $C$ ， $D$ 都可以使小灯泡发光．同时闭合两个开关小灯泡发光的概率是

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13. 如图，已知在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中，点 $B ， E ， C ， F$ 在同一条直线上， $A B ∥ D E ， B E = C F$ ．请你添加一个条件，使得 $△ A B C ≅ △ D E F$ ．

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14. 如图，已知点 $A ， B$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，过点 $A$ 作 $A C ⊥ y$ 轴于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $B D ⊥ y$ 轴于点 $D$ ，作 $B E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，连结 $A D$ ，已知 $A C = 1 ， B E = 1$ ．矩形 $O E B D$ 的面积为5，则 $t a n ∠ A D C =$

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15. 如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $A (6 ． 4 ， 4 ． 8) + B (10 ， 0)$ ，连结 $A O ， A B$ ，点 $C ， D$ 分别在线段 $A B ， O B$ 上，将 $△ C D B$ 沿 $C D$ 所在的直线折叠，使 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 落在线段 $A O$ 上，且 $B^{'} D = O B^{'}$ ，则点 $B^{'}$ 的坐标为

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $E$ ，且 $A C = B D$ ，过点 $C$ 作 $C F ∥ B D$ 交 $A B$ 延长线于点 $F$ ．若 $A D = 2 C B ， A B = \sqrt{2} O A = 2 \sqrt{5}$ ．则 $△ B C F$ 的面积为

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三、解答题(本大题共8小题，计72分，其中第17，18题各6分，第19，20题各8分，第21，22题各10分，第23，24题各12分，)

17. 计算： $| 1 - \sqrt{2} | - \sqrt{18} + 4 c o s 45^{\circ} + (2024 - π)^{0}$ ．

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18. 解分式方程： $\frac{1}{x} + \frac{2 x}{x + 3} = 2$ ．

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19. 如图，已知在 $A B C D$ 中，点 $E 、 F$ 分别在边 $A D 、 B C$ 上，且 $A E = C F$ ．
求证： $∠ B E D = ∠ D F B$ ．

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20. 跳绳是一项有效的有氧运动，因其便捷特效被学校广泛选为促进学生体质健康的运动项目，某校九年级400名学生在“跳绳提升”训练前后各参加了一次水平相同的测试，为了解训练效果，用抽样调查的方式从中抽取了50名学生训练前后的测试成绩，制成如下表格：
训练前
成绩(分)
6
7
8
9
10
人数(人)
15
9
9
9
8
训练后
成绩(分)
6
7
8
9
10
人数(人)
5
5
6
15
19

(1)、这50名学生的测试成绩中，训练前成绩的众数是分，训练后成绩的中位数是分；

(2)、这50名学生经过训练后平均成绩提高了多少分？

(3)、若测试成绩“9分”“10分”为优秀，请估计该校九年级400名学生经过训练后优秀的人数约有多少人？

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21. 图1是一个跷跷板的实物图，图2是其示意图．已知跷板 $A B$ 长为2.6米，点 $O$ 为踤板 $A B$ 的中点，支柱 $O C$ 与地面垂直．当踤板一端着地时，䟽板 $A B$ 与支柱 $O C$ 形成的 $∠ B O C = 118^{\circ}$ ．

(1)、求点 $B$ 到地面 $D E$ 的距离．

(2)、假设 $A B$ 绕点 $O$ 沿铅垂方向转动，当跷板 $A B$ 的一端从最高点 $B$ 转动到最低点 $B^{'}$ 时，求踤板 $A B$ 扫过的区域面积．
(结果精确到0.1，参考数据： $s i n 28^{\circ} \approx 0.47 ， c o s 28^{\circ} \approx 0.88 ， t a n 28^{\circ} \approx 0.53 ， π \approx 3$ )

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22. 【问题背景】某苗固基地，第一期培植某种盆景与花卉各50盆袋后统计，盆景平均每盆利润是160元，花卉平均每盆利润是19元．调研发现：(1)盆景每增加1盆，盆景平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景平均每盆利润增加2元；(2)花茾平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆．
【建立模型】设培植的盆景比第一期增加 $x$ 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为 $W_{1}$ ， $W_{2}$ (单位：元)．用含 $x$ 的代数式分别表示 $W_{1} ， W_{2}$ ；
【方案决策】当 $x$ 取何值时，使第二期培植的盆景与花卉获得的总利润 $W$ 最大，并求出最大总利润？

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23. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如：线段 $A B$ 的最小覆盖圆是以线段 $A B$ 为直径的圆；不共线三点 $A 、 B 、 C$ 的最小覆盖圆就是 $△ A B C$ 的外接圆．

(1)、【操作探究】现有三个边长为 $1 c m$ 的正方形．
①小芳按图1方式摆放，则最小覆盖圆的直径为 ▲ $c m$ ；
②小玲按图2方式摆放，则最小覆盖圆的直径为 ▲ $c m$ ；
③小慧发现另一种摆放方式，其最小覆盖圆的直径比他俩都小，请你也设计一种比小芳和小玲都小的摆放方式，并求出最小覆盖圆的直径．

(2)、【延伸运用】某地有四个村庄 $E ， F ， G ， H$ (其位置如图3所示)，现拟建一个广播信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到广播信号，且使中转站所需发射广播功索最小(距离越小，所需功率越小)，请在图中画出中转站所建位置．

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24. 如图，点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上，将 $⊙ O$ 沿直径 $A B$ 对折，点 $C$ 落在 $⊙ O$ 上的点 $D$ 处，分别连接 $A C ， C D ， A D ， A B$ 与 $C D$ 交于点 $E$ ．另有一动点 $F$ 在 $\hat{A D}$ 上运动，连接 $C F$ 交 $A B$ 于点 $G$ ，交 $A D$ 于点 $H$ ．

(1)、当 $C F$ 平分 $∠ A C D$ 时．
①连结 $B C$ ，求证： $B C = B G$ ．
②若 $E G = E B$ ，求 $\frac{C G}{A D}$ 的值．

(2)、当 $C F ⊥ A D$ 时，探究线段 $A F$ 与 $O E$ 的长度关系．

(3)、如图2，若点 $F$ 运动到 $\hat{C B D}$ 上， $A F$ 交 $C D$ 于点 $I$ ，求证： $A C^{2} - A I^{2} = C I \cdot D I$ ．

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训练前	成绩(分)	6	7	8	9	10
训练前	人数(人)	15	9	9	9	8
训练后	成绩(分)	6	7	8	9	10
训练后	人数(人)	5	5	6	15	19