浙江省J12共同体联盟校2023-2024学年七年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2024-04-26 类型：期中考试

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一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分)

1. 如图，直线 $m ， n$ 被直线 $l$ 所截， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 是一对( )

A、同位角 B、内错角 C、对顶角 D、同旁内角

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2. 下列各式是二元一次方程的是( )

A、 $x^{2} - 2 y = 3$ B、 $x - \frac{2}{y} = 3$ C、 $x + y = 3$ D、 $x + 2 y = 3 z$

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3. 下列计算正确的是( )

A、 $x^{2} + x^{3} = x^{5}$ B、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ C、 ${(x^{2})}^{3} = x^{5}$ D、 $(2 x)^{3} = 6 x^{3}$

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4. 已知 $\{\begin{array}{l} x = 1 ， \\ y = 2 \end{array}$ 是关于 $x ， y$ 的二元一次方程 $2 x - m y = 10$ 的一个解，则 $m$ 的值为( )

A、6 B、-6 C、4 D、-4

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5. 古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉 $x$ 元，每斤鱼 $y$ 元，可列方程组为( )

A、 $\{\begin{array}{l} 10 x + 3 y = 77 \\ 9 x = 5 y \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 3 x + 10 y = 77 ， \\ 9 x = 5 y \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 10 x + 3 y = 77 \\ 5 x = 9 y \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 3 x + 10 y = 77 ， \\ 5 x = 9 y \end{array}$

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6. 如图，直线 $A M ∥ B N$ ，把一块三角板如图放置，使直角顶点落在点 $A ， 30^{\circ}$ 角的顶点恰好落在点 $B$ ，若 $A M$ 平分 $∠ C A B$ ，则 $∠ 1$ 的度数为( )

A、 $135^{\circ}$ B、 $125^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $105^{\circ}$

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7. 已知方程组 $\{\begin{array}{l} 5 x + y = 26 \\ x + 2 y = 13 \end{array}$ ，则 $2 x + y = ()$

A、26 B、13 C、39 D、20

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8. 下列式子中，不能用平方差公式运算的是( )

A、 $(- x - y) (- x + y)$ B、 $(y + x) (x - y)$ C、 $(- x + y) (x - y)$ D、 $(y - x) (x + y)$

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9. 已知关于x，y的方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + y = k \\ x + 3 y = 5 - 2 k \end{matrix}$ ，有以下结论：①当k=0时，方程组的解是 $\{\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \end{matrix}$ ；②当 $x + 2 y = 0$ ，则 $k = 3$ ；③不论 $k$ 取什么实数， $x + y$ 的值始终不变．其中正确的是( )

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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10. 两个长为 $a$ ，宽为 $b$ 的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为 $S_{1}$ ，空白部分面积为 $S_{2}$ ，若 $S_{2} = 2 S_{1}$ ，则 $a ， b$ 满足( )

A、 $a = 2 b$ B、 $2 a = 3 b$ C、 $3 a = 4 b$ D、 $3 a = 5 b$

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二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)

11. 已知方程 $2 x + y = 5$ ，用含 $x$ 的代数式表示 $y$ ，则 $y =$

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12. 计算： $2 a^{2} b \cdot 3 a =$

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13. 如图，将一条长方形纸片沿 $A B$ 折叠，已知 $∠ D A B = 70^{\circ}$ ，则 $∠ C B F =$

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14. 如图，将三角形 $A B C$ 平移得到三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，若图中阴影部分面积与所有空白部分面积之比为 $1 ： 6$ ，则阴影部分面积与三角形 $A B C$ 面积的比值为

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15. 已知关于 $x ， y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ ，的解为 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ ，则关于 $x ， y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} a_{1} (x + 3) + b_{1} y - 2 b_{1} = c_{1} \\ a_{2} (x + 3) + b_{2} y - 2 b_{2} = c_{2} \end{array}$ 的解为

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16. 如图，两条平行直线 $l_{1} ， l_{2}$ 被直线 $A B$ 所截，点 $C$ 位于两平行线之间，且在直线 $A B$ 右侧，点 $E$ 是 $l_{1}$ 上一点，位于点 $A$ 右侧．小明进行了如下操作：连结 $A C ， B C$ ，在 $∠ E A C$ 平分线上取一点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D F ∥ B C$ ，交直线 $l_{2}$ 于点 $F$ ．记 $∠ A C B = α ， ∠ C B F = β ， ∠ A D F = γ$ ，则 $γ =$ (用含 $α ， β$ 的代数式表示)．

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三、解答题(本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或说理过程)

17. 解下列二元一次方程组：

(1)、 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 9 \\ y = 7 - x \end{array}$ ，

(2)、 $\{\begin{array}{l} 2 x - 5 y = 12 ， \\ 4 x + 3 y = - 2 \end{array}$ ，

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18. 如图，在 $6 \times 6$ 的正方形方格纸中有一格点三角形 $A B C$ (即三角形的顶点都在格点上)， $D$ 是方格纸中一格点．

(1)、将三角形 $A B C$ 平移后得到三角形 $D E F$ ，使点 $A$ 的对应点为 $D$ ，在图中画出平移后的图形．

(2)、三角形 $D E F$ 是由三角形 $A B C$ 先向平移个单位，再向上平移个单位得到。

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19. 先化简，再求值： $(x + y) (x - y) - x (x - y)$ ，其中 $x = 2 ， y = 1$ ．

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20. 如图， $A E$ 平分 $∠ B A C ， ∠ C A E = ∠ A E C$ ．

(1)、判断 $A B$ 与 $C D$ 是否平行，并说明理由．

(2)、若 $G F ∥ C D ， E F ⊥ A E ， ∠ B A C = 4 ∠ F$ ，求 $∠ F E D$ 的度数．

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21. 定义：任意两个数 $a ， b$ ，按规则 $c = a^{2} + b^{2} - a b$ 运算得到一个新数 $c$ ，称 $c$ 为 $a$ ， $b$ 的“和方差数”．

(1)、求 $2 ， - 3$ 的“和方差数”．

(2)、若两个非零数 $a ， b$ 的积是 $a ， b$ 的“和方差数”，求 $2 a - 2 b$ 的值．

(3)、若 $a + b = 3 ， a b = 4$ ，求 $a ， b$ 的“和方差数” $c$ ．

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22. 某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆 $A$ 型车和1辆 $B$ 型车可以载学生130人．

(1)、 $A 、 B$ 型车每铐可分别载学生多少人？

(2)、若租一辆A型车需要1000元，一辆B型车需1200元，请你设计租车方案，使得恰好送完学生，并且租车费用最少？

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23. 如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2， $E F$ 为平面镜， $A B ， B C$ 分别为入射光线和反射光线，则 $∠ A B E = ∠ C B F$ ．请继续以下探究：

(1)、探究反射规律
①如图3， $∠ A B E = α ， ∠ B F C = 105^{\circ}$ ，则 $∠ D C G =$ ▲ (用含 $α$ 的代数式表示)．
②若光线 $A B ∥ C D$ ，判断 $E F$ 与 $F G$ 的位置关系，并说明理由．

(2)、模拟应用研究
在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点 $D$ 会高于反射点 $C$ (如图4)，因此小亮认为反射光线 $C D$ 应与水平视线 $D H$ 成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线 $A B ∥ D H$ ，当 $C D$ 与 $D H$ 所成夹角为 $15^{\circ}$ 时，求 $∠ B F C$ 的度数．

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24. 用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题：

(1)、若要拼成一个长为 $3 x + 2$ ，宽为 $x + 3$ 的长方形，则需要 $A$ 型纸片张，B型纸片张，C型纸片张．

(2)、现有 $A$ 型纸片1张， $C$ 型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求 $B$ 型纸片的张数．

(3)、现有A，B，C三种型号的纸片共12张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为 $x + 2$ ，则需要三种纸片各多少张？(求出所有可能的情况)

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