广西壮族自治区柳州市2024年初中学业水平考试模拟试卷数学模拟试题

试卷更新日期：2024-04-26 类型：中考模拟

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一、选择题（每题3分，共36分）

1. -2024的相反数是（）

A、 $- 2024$ B、2024 C、 $\frac{1}{2024}$ D、 $- \frac{1}{2024}$

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2. 下列图形中具有稳定性的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“点”字一面的相对面上的字是（）

A、青 B、春 C、梦 D、想

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4. 描述柳州市某一周内每天最高气温的变化趋势，最合适的统计图是（）

A、条形统计图 B、折线统计图 C、扇形统计图 D、频数分布直方图.

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5. 如图， $∠ A = 100 °$ ， $∠ B = 20 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数是（）

A、100° B、110° C、120° D、140°

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6. 把不等式 $x - 4 \leq 3 x$ 的解集在数轴上表示出来，则正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，直线a，b被直线c所截，若 $a / / b$ ， $∠ 1 = 70 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、70° B、100° C、110° D、120°

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9. 把多项式 $a^{2} - 1$ 分解因式得（）

A、 $(a + 1) (a - 1)$ B、 $a (a - 1)$ C、 ${(a - 1)}^{2}$ D、 ${(a + 1)}^{2}$

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10. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，问清、醕酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒 $x$ 斗，醑酒 $y$ 斗，那么可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 30 \\ \frac{x}{10} + \frac{y}{3} = 5 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ 3 x + 10 y = 30 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ 10 x + 3 y = 30 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 30 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{10} = 5 \end{array}$

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11. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解为（）

A、 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $E$ 是 $A C$ 的中点，连接 $B E$ ，过点 $E$ 作 $E D ⊥ B E$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，若 $△ E D C$ 的面积为6，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、144 B、150 C、288 D、72

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二、填空题（每小题2分，共12分.）

13. 如果某天的温度上升了5℃记作 $+ 5 ℃$ ，那么温度下降5℃记作.

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14. 某校举办“清廉校园建设”演讲比赛，评分办法采用5位评委现场打分，5位评委给某位选手打分分别是：9.8，9.7，9.6，9.5，9.5.则这组数据的中位数为.

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15. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ A C B = 30 °$ ，则 $∠ A O B$ 的度数是°.

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16. 如图，有一斜坡 $A B$ ，此斜坡的坡面长 $A B = 50 m$ ，斜坡的坡角是 $∠ B A C$ ，若 $s i n ∠ B A C = \frac{2}{5}$ ，则坡顶 $B$ 离地面的高度 $B C$ 为 $m$ .

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 2$ ，分别以点 $A$ 和点 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $M$ ， $N$ 两点，作直线 $M N$ ，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E$ .则 $D E$ 的长为.

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18. 如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形 $A B C D$ （相邻纸片之间不重叠，无謎隙）.若四边形 $A B C D$ 的面积为13，中间空白处的四边形 $E F G H$ 的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为 $a$ ， $b$ ，则 ${(a + b)}^{2} =$ .
图1 图2

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三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19. 计算： $4 \times (- 1) + 2^{2} + | - 3 |$ .

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20. 解方程组： ${\begin{array}{l} 2 x - y = 5 ① \\ x + y = 4 ② \end{array}$ .

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21. 如图，点 $A$ ， $D$ ， $C$ ， $F$ 在同一条直线上， $B C = E F$ ， $A C = D F$ ， $B C / / E F$ .

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ；

(2)、求证： $A B / / D E$ .

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22. 某市开展党史知识竞赛活动，某单位决定从报名的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三名优秀党员中通过抽签的方式确定两名优秀党员参加.将三名优秀党员的名字分别写在3张完全相同不透明卡片的正面，把这3张卡片背面朝上，洗匀后放在桌上，先从中随机抽取1张卡片，记下名字后，再从剩下的2张卡片中随机抽取1张，记下名字.

(1)、第一次从3张卡片中随机抽取1张卡片， $A$ 优秀党员被选中的概率是；

(2)、请用列表或画树状图的方法，求出 $B$ ， $C$ 两名优秀党员被选中的概率.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图像与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点， $B$ 点的坐标为 $(3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、求 $△ A B D$ 的面积

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24. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ， $B D$ 交 $A C$ 的延长线于点 $D$ ， $E$ 为 $B D$ 的中点，连接 $C E$ 、 $O E$ .

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、已知 $B D = 10$ ， $C D = 8$ ，求 $O E$ .

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25. 某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量 $y$ （毫克/百毫升）与时间 $x$ （时）的关系可近似的用如图所示的图象表示.国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路.

(1)、求部分双曲线 $B C$ 的函数表达式；

(2)、参照上述数学模型，假设某人晚上20：00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9：00能否驾车出行？请说明理由.

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26. 综合与实践

小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.小明继续利用上述结论进行探究.

图1 图2 图3

【提出问题】

如图1，在线段 $A C$ 同侧有两点 $B$ ， $D$ ，连接 $A D$ ， $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ，如果 $∠ B = ∠ D$ ，那么 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点在同一个圆上.

探究展示：

如图2，作经过点 $A$ ， $C$ ， $D$ 的 $⊙ O$ ，在劣弧 $A C$ 上取一点 $E$ （不与 $A$ ， $C$ 重合），连接 $A E$ ， $C E$ ，

则 $∠ A E C + ∠ D = 180 °$

又∵ $∠ B = ∠ D$ ，

∴ ▲ ，

∴点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $E$ 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），

∴点 $B$ ， $D$ 在点 $A$ ， $C$ ， $E$ 所确定的 $⊙ O$ 上

∴点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点在同一个圆上.

(1)、【反思归纳】上述探究过程中的横线上填的内容是；

(2)、【拓展延伸】如图3，在

R t △ A B C

中，

∠ A C B = 90 °

，

A C = B C

，将

△ A B C

绕点

A

逆时针旋转得

△ A N M

，连接

C M

交

B N

于点

D

，连接

B M

、

A D

.小明发现，在旋转过程中，

∠ C D B

永远等于45°，不会发生改变.

①根据 $∠ C D B = 45 °$ ，利用四点共圆的思想，试证明 $N D = D B$ ；

②在（1）的条件下，当 $△ B D M$ 为直角三角形，且 $B N = 4$ 时，直接写出 $B C$ 的长.

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