湖北省阳新县城区四校2024年九年级第一次模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2024-04-26 类型：中考模拟

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1. 有四包真空小包装零食，每包以标准克数（100克）为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（　　）

A、﹣1 B、﹣2 C、+3 D、﹣4

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2. 下列运算结果等于 $a^{6}$ 的是（）

A、 $a^{3} + a^{3}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3}$ C、 ${(- a^{3})}^{2}$ D、 $a^{12} \div a^{2}$

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3. 1月9日，中国国家铁路集团有限公司发布数据称，2023年全年，国家铁路完成旅客发送量36.8亿人次，高峰日发送旅客突破2000万人次，全年和高峰日旅客发送量均创历史新高，其中数据“36.8亿”用科学记数法表示为（）

A、 $3.68 \times 1 0^{9}$ B、 $36.8 \times 1 0^{9}$ C、 $3.68 \times 1 0^{10}$ D、 $0.368 \times 1 0^{10}$

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4. 如图，将直尺与 $30 °$ 角的三角尺叠放在一起，若 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2$ 的大小是（）

A、 $70 °$ B、 $60 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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5. 下列说法中正确的是（　　）

A、一组数据2、3、3、5、5、6，这组数据中没有众数 B、袋中有10个蓝球，1个绿球，随机摸出一个球是绿球的概率是0.1 C、对湛江市区全年水质调查，适合用全面调查 D、画出一个三角形，其内角和是180度为必然事件

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x > - 6 \\ \frac{x + 1}{3} \leq 1 \end{array}$ 的解集，在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $(3, - 1)$ ，则下列说法错误的是（　　）

A、 $k = - 3$ B、函数图象分布在第二、四象限 C、函数图象关于原点中心对称 D、当 $x < 0$ 时，y随x的增大而减小

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8. 如图，PA ， PB是⊙O的切线，A ， B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=28°，则∠P的度数是（）

A、50° B、58° C、56° D、55°

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9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(2, 3)$ ， $A B ∥ x$ 轴，且 $A B = 4$ ，则点B的坐标为（）

A、 $(- 2, 3)$ B、 $(6, 3)$ C、 $(- 2, 3)$ 或 $(6, 3)$ D、 $(2, - 1)$ 或 $(2, 7)$

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10. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴交于点 $A (- 1, 0)$ ，与y轴的交点B在 $(0, - 2)$ 和 $(0, - 1)$ 之间（不包括这两点），对称轴为直线 $x = 1$ ．下列结论：① $a b c > 0$ ；② $4 a + 2 b + c > 0$ ；③ $4 a c - b^{2} < 8 a$ ；④ $\frac{1}{3} < a < \frac{2}{3}$ ；⑤ $b > c$ ．其中含所有正确结论的选项是（）

A、①③④ B、①③⑤ C、②④⑤ D、①③④⑤

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二、填空题（本大题共有5个小题，每小题3分，共15分．不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）

11. 计算： $\frac{a - 1}{a + 1} + \frac{2}{a + 1} =$ ．

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12. 某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件64.8元，这种服装平均每次降价的百分率是.

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13. 关于 $x$ 的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - a \geq 0 \\ b - x < 0 \end{array}$ 的两个不等式的解集在数轴上表示如图，则 $a - b$ 的值为．

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14. 小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，

(1)、5条直线两两相交最多有个交点；

(2)、n条直线两两相交最多有个交点．（用含有字母n的式子表示， $n \geq 3$ ）

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15. 在△ABC中， $∠ A C B = 90 °, B C = 2 c m$ ， $A C = 2 \sqrt{3} c m$ ，点D是 $A B$ 边上一动点，将△ACD沿直线 $C D$ 翻折，使点A落在点E处，连接 $C E$ 交 $A B$ 于点F（所给图形仅仅是示意图）．当△DEF是直角三角形时， $A D =$ ．

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三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 先化简，再求值 $(\frac{a^{2} + b^{2}}{a b} - 2) \div (\frac{1}{b} - \frac{1}{a})$ ，其中 $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ .

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17. 如图，在□ABCD中，对角线AC ， BD相交于点O ，且OA＝OB＝5，AB＝6，求□ABCD的面积．

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18. 甲、乙两座城市的中心火车站A ， B两站相距360km ．一列动车与一列特快列车分别从A ， B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h ，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？

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19. 如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C.

(1)、作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；

(2)、根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形.

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20. 如图，已知反比例函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ 的图象与直线 $y_{2} = k_{2} x + b$ 相交于 $A (- 1, 3)$ ， $B (3, n)$ 两点．

(1)、求反比例函数与一次函数的解析式；

(2)、求△AOB的面积；

(3)、直接写出当 $y_{1} > y_{2}$ 时，对应的x的取值范围．

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21. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交边AB、AC于点E、F.

(1)、求证：BC是⊙O的切线；

(2)、若 $B E = 4$ ， $s i n B = \frac{1}{2}$ ，求阴影部分的面积.

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22. 有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，但是，存放一天需各种费用20元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃．

(1)、存放x天后将鲜葡萄一次性出售，设鲜葡萄的销售金额为y元，写出y关于x的函数关系式；

(2)、为了使鲜葡萄的销售金额为760元，又为了尽早清空冷藏室，则需要在几天后一次性出售完；

(3)、问个体户将这批葡萄存放多少天后一次性出售，可获得最大利润?最大利润是多少?(本题不要求写出自变量x的取值范围)

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23. 在矩形 $A B C D$ 中， $\frac{A D}{A B} = k$ （k为常数），点P是对角线BD上一动点（不与B，D重合），将射线PA绕点P逆时针旋转90°与射线CB交于点E，连接AE．

(1)、特例发现：如图1，当k=1时，将点P移动到对角线交点处，可发现点E与点B重合，则 $\frac{P A}{P E} =$ ， $∠ A E P =$ ；当点P移动到其它位置时， $∠ A E P$ 的大小（填“改变”或“不变”）；

(2)、类比探究：如图2，若k≠1时，当k的值确定时，请探究∠AEP的大小是否会随着点P的移动而发生变化，并说明理由；

(3)、拓展应用：当k≠1时，如图2，连接PC，若PC⊥BD，AE∥PC，PC=2，求AP的长．

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24. 如图①，直线 $y = - x + 3$ 与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与y轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，与x轴正半轴交于点 $D (4 ， 0)$ ，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．

(1)、求抛物线的解析式：

(2)、当m为何值时， $△ M A B$ 面积S取得最大值？请说明理由；

(3)、如图②，连接 $C A$ ，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 $∠ Q C A = 45 °$ ，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由．

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