湖南省长沙市周南教育集团2024年中考数学诊断试卷（一）

试卷更新日期：2024-04-25 类型：中考模拟

进入出卷网下载

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. $- 2024$ 的绝对值是( )

A、 $2024$ B、 $- 2024$ C、 $\frac{1}{2024}$ D、 $- \frac{1}{2024}$

查看试题解析
2. 下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A、可回收物 B、其他垃圾 C、有害垃圾 D、厨余垃圾

查看试题解析
3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ B、 $a + a^{2} = a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$

查看试题解析
4. $2024$ 年 $2$ 月，我国汽车产销量达到 $402.6$ 万辆，同比增长 $11.1 % .$ 将数据 $402.6$ 万用科学记数法表示为( )

A、 $4.026 \times 10^{5}$ B、 $4.026 \times 10^{6}$ C、 $0.4026 \times 10^{6}$ D、 $40.26 \times 10^{5}$

查看试题解析
5. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象过点 $(- 2,3)$ ，那么 $k$ 的值是( )

A、 $- 2$ B、 $3$ C、 $6$ D、 $- 6$

查看试题解析
6. 如图， $R t △ A B C$ 的直角顶点 $A$ 在直线 $a$ 上，斜边 $B C$ 在直线 $b$ 上，若 $a / / b$ ， $∠ 1 = 55 °$ ，则 $∠ 2 =$ ( )

A、 $55 °$ B、 $45 °$ C、 $35 °$ D、 $25 °$

查看试题解析
7. 下列说法正确的是( )

A、甲、乙两人 $10$ 次测试成绩的方差分别是 $s_{甲}^{2} = 4$ ， $s_{乙}^{2} = 14$ ，则乙的成绩更稳定 B、某奖券的中奖率为 $\frac{1}{100}$ ，买 $100$ 张奖券，一定会中奖 $1$ 次 C、 $x = 3$ 是不等式 $2 (x - 1) > 3$ 的解，这是一个必然事件 D、要了解某品牌牛奶的蛋白质含量情况，适合全面调查

查看试题解析
8. 一元一次不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 2 > 1 \\ x < 4 \end{array}$ 的解集为（）

A、 $- 1 < x < 4$ B、 $x < 4$ C、 $x < 3$ D、 $3 < x < 4$

查看试题解析
9. 元朝朱世杰所著的 $《$ 算学启蒙 $》$ 中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行 $240$ 里，慢马每天行 $150$ 里，慢马先行 $12$ 天，快马几天可追上慢马？若设快马 $x$ 天可追上慢马，由题意得（）

A、 $\frac{x}{240} = \frac{x + 12}{150}$ B、 $\frac{x}{240} = \frac{x}{150} - 12$ C、 $240 (x - 12) = 150 x$ D、 $240 x = 150 (x + 12)$

查看试题解析
10. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ A B$ ，以 $D$ 为圆心， $A D$ 为半径的弧恰好与 $B C$ 相切，切点为 $E$ ，若 $\frac{A B}{C D} = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n C$ 的值是( )

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

查看试题解析

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 使 $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 有意义的 $x$ 的取值范围为．

查看试题解析

12. 眼睛是心灵的窗户为保护学生视力，启航中学每学期给学生检查视力，下表是该校某班39名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是．

视力	4.0	4.1	4.2	4.3	4.4	4.5	4.6	4.7	4.8	4.9	50
人数	1	2	6	3	3	4	1	2	5	7	5

查看试题解析

13. 若点 $(- 2, y_{1})$ ， $(2, y_{2})$ 都在一次函数 $y = x + 1$ 的图象上，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是．

查看试题解析
14. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ， $∠ B$ 的平分线 $B E$ 交 $A D$ 于点E，则 $D E$ 的长为．

查看试题解析
15. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的一个内角 $∠ B A D = 80 °$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 在 $A B$ 上且 $B E = B O$ ，则 $∠ B E O =$ 度．

查看试题解析
16. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强 $p (k P a)$ 与汽缸内气体的体积 $V (m L)$ 成反比例， $p$ 关于 $V$ 的函数图象如图所示 $.$ 若压强由 $75 k P a$ 加压到 $100 k P a$ ，则气体体积压缩了 $m L$ ．

查看试题解析

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 计算： $(π - 2)^{0} + (- \frac{1}{2})^{- 1} - 2 s i n 60 ° + | 2 - \sqrt{3} | .$

查看试题解析
18. 先化简，再求值： $\frac{a - 1}{a - 2} \cdot \frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 2 a + 1} - \frac{2}{a - 1}$ ，其中 $a = \frac{1}{2}$ ．

查看试题解析
19. 一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

查看试题解析
20. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．

根据图中信息，请回答下列问题；

(1)、条形图中的 $m =$ ， $n =$ ，文学类书籍对应扇形圆心角等于度；

(2)、若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；

(3)、甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．

查看试题解析
21. 如图，∠A＝∠B ， AE＝BE ，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O ．

(1)、求证：△AEC≌△BED；

(2)、若∠1＝42°，求∠BDE的度数．

查看试题解析
22. “六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．

(1)、求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？

(2)、若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A ， B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？

查看试题解析
23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上， $B D = D C$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ ，垂足为 $E$ ， $⊙ O$ 经过 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点且与 $A C$ 的另一个交点为 $F$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 12 . ∠ B A C = 60 °$ ，求阴影部分的面积．

查看试题解析
24. 我们不妨约定：若关于 $x$ 的二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 与 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 同时满足 $a_{1} \neq 0$ ， $a_{2} \neq 0$ ， $| a_{1} + a_{2} | + \sqrt{b_{1} - b_{2}} + (c_{1} + c_{2})^{2} = 0$ ，则称函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 互为“互联”函数 $.$ 根据该约定，解答下列问题：

(1)、求二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 的“互联”函数的解析式；

(2)、若关于 $x$ 的二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x + c$ 的顶点在它的“互联”函数图象上，且当且当 $\frac{c - 2 a}{a} \leq x \leq \frac{a - 3 c}{2 a}$ 时， $y$ 最大值为 $7$ ，求此二次函数解析式；

(3)、关于 $x$ 的函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象顶点为 $M$ ，与 $x$ 轴的交点为 $A$ 、 $B$ ，当它的“互联”函数 $y_{2}$ 的顶点为 $N$ ，与 $x$ 轴的交点为 $C$ 、 $D$ ，从右往左依次是 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，若 $A C = 3 B C$ ，求当四边形 $A M D N$ 为矩形时 $b^{2} - 4 a c$ 的值？

查看试题解析
25. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 是一条不过圆心 $O$ 的弦，点 $C$ ， $D$ 是 $\overset{⏜}{A B}$ 的三等分点，直径 $C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，连结 $A D$ 交 $C F$ 于点 $G$ ，连结 $A C$ ，连结 $B C$ 交 $A D$ 于点 $N$ ，过点 $C$ 的切线交 $B A$ 的延长线于点 $H$ ．

(1)、求证： $A D / / H C$ ；

(2)、若 $\frac{O G}{G C} = 2$ ，求 $t a n ∠ A B C$ 的值；

(3)、若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $A H = \sqrt{10}$ ，求 $△ A N B$ 的周长．

查看试题解析