贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-25 类型：月考试卷

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一、选择题（每小题3分，共36分）

1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 1 \\ y + z = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x y = 2 \\ x + y = 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ y = 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x - \frac{1}{y} = 2 \\ x + 2 y = 1 \end{array}$

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2. 下列运算结果正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{2} = a^{5}$ B、 $2 a - a = 2$ C、 $a \cdot a^{3} = a^{4}$ D、 ${(- 3 a)}^{2} = 6 a^{2}$

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3. 下列各组数中，是二元一次方程 $2 x - 3 y = 8$ 的解的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = - 2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 2 \end{array}$

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4. 二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 4 \\ x + y = 8 \end{array}$ ，最适合用下列哪种消元法求解（）

A、代入消元法 B、加减消元法 C、代入消元法或加减消元法 D、无法确定

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5. 计算式子 $(2 \times 1 0^{3}) \times (3 \times 1 0^{5})$ 的结果用科学记数法表示为（）

A、 $6 \times 1 0^{8}$ B、 $6 \times 1 0^{9}$ C、 $6 \times 1 0^{10}$ D、 $6 \times 1 0^{15}$

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6. 若 $a = 3^{11}$ ， $b = 2^{22}$ ，则a，b的大小关系为（）

A、 $a < b$ B、 $b < a$ C、 $a = b$ D、无法确定

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7. 在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x²+3x﹣1）＝6x³﹣9x²+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（）

A、1 B、﹣1 C、3x D、﹣3x

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8. 满足 ${(x + y)}^{2} + | x - y - 2 | = 0$ 的x，y的值分别为（）

A、 $- 1$ ， 1 B、1，1 C、1， $- 1$ D、无法确定

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9. 形如 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} |$ 的式子叫做二阶行列式，其运算法则是 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，依此法则计算 $| \begin{array}{l} x + 1 & x \\ x & x - 1 \end{array} |$ 的结果为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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10. 通过计算比较图中图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（　　）

A、 $a (b - x) = a b - a$ B、 $b (a - x) = a b - b x$ C、 $(a - x) (b - x) = a b - a x - b x$ D、 $(a - x) (b - x) = a b - a x - b x + x^{2}$

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11. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来就是 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 17 \\ x + 4 y = 23 \end{array}$ ，类似的，图②所示的算筹图用方程组表示出来就是（）

A、 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 12 \\ 3 x + 4 y = 26 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 12 \\ 4 x + 3 y = 26 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 26 \\ 4 x + 3 y = 12 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 12 \\ 3 x + 4 y = 26 \end{array}$

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12. 已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 4 - a ， \\ x - y = 3 a ， \end{array}$ 给出下列结论中正确的是（）
①当这个方程组的解 $x$ ， $y$ 的值互为相反数时， $a = - 2$ ；②当 $a = 1$ 时，方程组的解也是方程 $x + y = 4 + 2 a$ 的解；③无论 $a$ 取什么实数， $x + 2 y$ 的值始终不变．

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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二、填空题（每小题4分，共16分）

13. 计算： ${(x^{3})}^{4} =$ ．

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14. 写出一个以 ${\begin{array}{l} x = 0 \\ y = 5 \end{array}$ 为解的二元一次方程组．

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15. 二元一次方程 $3 x + y = 9$ 的正整数解是．

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16. 如图，有一张边长为1的正方形纸片，第一次将其分割成4个面积相等的小正方形纸片，第二次将其中的一小张又分割成4个面积相等的小正方形纸片．以后每一次都将其中的一小张分割成更小的4个面积相等的小正方形纸片，第n次后小正方形纸片的面积为．（用含n的代数式表示）

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三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 计算：

(1)、 $x (x - 1)$ ；

(2)、 ${(- 2 x^{3})}^{2} - 4 x^{2} (x^{4} - y^{2})$ ．

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18. 课堂上老师出了一道题：解方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + y = 1 ， ① \\ x - 2 y = 12 ， ② \end{array}$ ．

(1)、小组学习时，老师发现有同学这么做：
由②得， $x = 2 y + 12$ ③，
将③代入①得： $3 (2 y + 12) + y = 1$ ，
解得 $y = - 5$ ，
把 $y = - 5$ 代入③得 $x = 2$ ，
$∴$ 方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 5 \end{array}$ ，
该同学使用了消元法解这个方程组，目的是把方程组从“二元”变为“一元”，体现了的数学思想；

(2)、请用另一种消元方法解这个方程组．

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19. 先化简，再求值： $(2 + x) (2 - x) + x (x + 1)$ ，其中 $x = - 6$ ．

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20. 已知 $(3 x - m) (x^{2} + x + 1)$ 的展开式中不含 $x^{2}$ 项，求m的值．

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21. 在等式 $y = k x + b$ 中，当 $x = 3$ 时， $y = 1$ ；当 $x = 2$ 时， $y = 4$ ．求k，b的值．

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22. 记 $M_{(1)} = - 2$ ， $M_{(2)} = (- 2) \times (- 2)$ ， $M_{(3)} = (- 2) \times (- 2) \times (- 2)$ ， …， $M_{(n)} = \underset{n 个 - 2 相乘}{\underset{︸}{(- 2) \times (- 2) \times ⋯ \times (- 2)}}$ ．则 $M_{(3)} + M_{(4)} = (- 2) \times (- 2) \times (- 2) + (- 2) \times (- 2) \times (- 2) \times (- 2) = - 8 + 16 = 8$ ．计算： $2 M_{(2023)} + M_{(2024)}$ ．

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23. 2023年杭州亚运会期间，吉祥物琮琮、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套．求所购进的玩偶和钥匙扣的个数．

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24. 综合实践：如图1，长方形的两边长分别为 $m + 1$ ， $m + 7$ ；如图2，长方形的两边长分别为 $m + 2$ ， $m + 4$ ．（其中m为正整数）

(1)、图1中长方形的面积 $S_{1} =$ ；图2中长方形的面积 $S_{2} =$ ．

(2)、现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．
①正方形的边长为 ▲ ；（用含m的代数式表示．）
②探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积 $S_{1}$ 的差（即 $S - S_{1}$ ）是个常数，并求出这个常数．（提示： ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ）

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25. 阅读材料，回答问题．
解方程组， ${\begin{array}{l} 5 (x + y) - 3 (x - y) = 2 \\ 2 (x + y) + 4 (x - y) = 6 \end{array}$ 时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的 $x + y$ 和 $x - y$ 分别看作一个整体，设 $x + y = A$ ， $x - y = B$ ，原方程组可变形为 ${\begin{array}{l} 5 A - 3 B = 2 \\ 2 A + 4 B = 6 \end{array}$ ，解得 ${\begin{array}{l} A = 1 \\ B = 2 \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{array}$ ，再解这个方程组得 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 0 \end{array}$ ．这种解方程组的方法叫做整体换元法．

(1)、已知关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} m x + n y = 17 \\ n x - m y = - 28 \end{array}$ ，的解为 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 10 \end{array}$ ，那么在关于a，b的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} m (a + b) + n (2 a - b) = 17 \\ n (a + b) - m (2 a - b) = - 28 \end{array}$ ，中， $a + b =$ ， $2 a - b =$ ；

(2)、用材料中的方法解二元一次方程组 ${\begin{array}{l} \frac{x + y}{3} + \frac{x - y}{2} = 1 \\ 2 (x + y) - 3 (x - y) = 6 \end{array}$ ．

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