2014年高考理数真题试卷（天津卷）

试卷更新日期：2016-09-29 类型：高考真卷

进入出卷网下载

一、选择题

1. i是虚数单位，复数 $\frac{7 + i}{3 + 4 i}$ =（）

A、1﹣i B、﹣1+i C、 $\frac{17}{25}$ + $\frac{31}{25}$ I $i$ D、﹣ $\frac{17}{7}$ + $\frac{25}{7}$ i

查看试题解析
2. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \geq 2 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ y \geq 1 \end{matrix}$ ，则目标函数z=x+2y的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
3. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）

A、15 B、105 C、245 D、945

查看试题解析
4. 函数f（x）= $\log_{\frac{1}{2}}$ （x²﹣4）的单调递增区间为（）

A、（0，+∞） B、（﹣∞，0） C、（2，+∞） D、（﹣∞，﹣2）

查看试题解析
5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{5}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{20}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{20}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{5}$ =1 C、 $\frac{3 x^{2}}{25}$ ﹣ $\frac{3 y^{2}}{100}$ =1 D、 $\frac{3 x^{2}}{100}$ ﹣ $\frac{3 y^{2}}{25}$ =1

查看试题解析
6. 如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF；
②FB²=FD•FA；
③AE•CE=BE•DE；
④AF•BD=AB•BF．
所有正确结论的序号是（）

A、①② B、③④ C、①②③ D、①②④

查看试题解析
7. 设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

查看试题解析
8. 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上， $\vec{B E}$ =λ $\vec{B C}$ ， $\vec{D F}$ =μ $\vec{D C}$ ，若 $\vec{A E}$ • $\vec{A F}$ =1， $\vec{C E}$ • $\vec{C F}$ =﹣ $\frac{2}{3}$ ，则λ+μ=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{7}{12}$

查看试题解析

二、填空题

9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．

查看试题解析
10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m³ ．

查看试题解析
11. 设{a_n}是首项为a₁ ，公差为﹣1的等差数列，S_n为其前n项和，若S₁ ， S₂ ， S₄成等比数列，则a₁的值为．

查看试题解析
12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c= $\frac{1}{4}$ a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．

查看试题解析
13. 在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．

查看试题解析
14. 已知函数f（x）=|x²+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．

查看试题解析

三、解答题

15. 已知函数f（x）=cosx•sin（x+ $\frac{π}{3}$ ）﹣ $\sqrt{3}$ cos²x+ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，x∈R．

(1)、求f（x）的最小正周期；

(2)、求f（x）在闭区间[﹣ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{4}$ ]上的最大值和最小值．

查看试题解析
16. 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．

(1)、求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

(2)、设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

查看试题解析
17. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

(1)、证明：BE⊥DC；

(2)、求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(3)、若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

查看试题解析
18. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |F₁F₂|．

(1)、求椭圆的离心率；

(2)、设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F₁ ，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

查看试题解析
19. 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x₁+x₂q+…+x_nqⁿ^﹣¹ ， x_i∈M，i=1，2，…n}．

(1)、当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；

(2)、设s，t∈A，s=a₁+a₂q+…+a_nqⁿ^﹣¹ ， t=b₁+b₂q+…+b_nqⁿ^﹣¹ ，其中a_i ， b_i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a_n＜b_n ，则s＜t．

查看试题解析
20. 设f（x）=x﹣ae^x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ．

(1)、求a的取值范围；

(2)、证明： $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 随着a的减小而增大；

(3)、证明x₁+x₂随着a的减小而增大．

查看试题解析