广东省揭阳市2024届高三下学期4月二模考试数学

试卷更新日期：2024-04-24 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $(a, b)$ ，且 $| z + i | = 4$ ，则（）

A、 $a^{2} + {(b + 1)}^{2} = 4$ B、 $a^{2} + {(b + 1)}^{2} = 16$ C、 ${(a + 1)}^{2} + b^{2} = 4$ D、 ${(a + 1)}^{2} + b^{2} = 16$

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2. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + a x + 1$ 在 $(2, 6)$ 上不单调，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(2, 6)$ B、 $(- \infty, 2] ∪ [6, + \infty)$ C、 $(4, 12)$ D、 $(- \infty, 4] ∪ [12, + \infty)$

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3. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 $\sqrt{7}$ 倍，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{35}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{42}}{7}$

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4. 把函数 $f (x) = 3 s i n 3 x$ 的图象向左平移 $\frac{1}{4}$ 个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）

A、 $y = 3 s i n (3 x + \frac{3}{4})$ B、 $y = 3 s i n (3 x - \frac{3}{4})$ C、 $y = 3 c o s 3 x$ D、 $y = - 3 c o s 3 x$

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5. 已知 $l$ ， $m$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，且 $l \subset α$ ， $m \subset β$ ，下列命题为真命题的是（）

A、若 $l / / m$ ，则 $α / / β$ B、若 $α / / β$ ，则 $l / / β$ C、若 $l ⊥ m$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ，则 $l / / m$

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6. 如果方程 $F (x, y) = 0$ 能确定 $y$ 是 $x$ 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程 $F (x, y) = 0$ 中，把 $y$ 看成 $x$ 的函数 $y = y (x)$ ，则方程可看成关于 $x$ 的恒等式 $F (x, y (x)) = 0$ ，在等式两边同时对 $x$ 求导，然后解出 $y^{'} (x)$ 即可.例如，求由方程 $x^{2} + y^{2} = 1$ 所确定的隐函数的导数 $y^{'}$ ，将方程 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的两边同时对 $x$ 求导，则 $2 x + 2 y \cdot y^{'} = 0$ （ $y = y (x)$ 是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得 $y^{'} = - \frac{x}{y}$ （ $y \neq 0$ ）.那么曲线 $x y + l n y = 2$ 在点 $(2, 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $x - 3 y + 1 = 0$ B、 $x + 3 y - 5 = 0$ C、 $3 x - y - 5 = 0$ D、 $2 x + 3 y - 7 = 0$

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7. 如图，正四棱台容器 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的高为 $12 c m$ ， $A B = 10 c m$ ， $A_{1} B_{1} = 2 c m$ ，容器中水的高度为 $6 c m$ .现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了 $3 c m$ ，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（）

A、 $\sqrt[3]{\frac{1}{π}} c m$ B、 $\sqrt[3]{\frac{2}{π}} c m$ C、 $\sqrt[3]{\frac{3}{π}} c m$ D、 $\sqrt[3]{\frac{4}{π}} c m$

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8. 在研究变量 $x$ 与 $y$ 之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， …， $(x_{5}, y_{5})$ ， $(6, 28)$ ， $(0, 28)$ ，利用此样本数据求得的经验回归方程为 $\hat{y} = \frac{10}{7} x + \frac{166}{7}$ ，现发现数据 $(6, 28)$ 和 $(0, 28)$ 误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为 $\hat{y} = 4 x + m$ ，且 $\sum_{i = 1} y_{i} = 140$ ，则 $m =$ （）

A、8 B、12 C、16 D、20

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 若表示集合 $M$ 和 $N$ 关系的Venn图如图所示，则 $M$ ， $N$ 可能是（）

A、 $M = {0, 2, 4, 6}$ ， $N = {4}$ B、 $M = {x | x^{2} < 1}$ ， $N = {x | x > - 1}$ C、 $M = {x | y = l g x}$ ， $N = {y | y = e^{x} + 5}$ D、 $M = {(x, y) | x^{2} = y^{2}}$ ， $N = {(x, y) | y = x}$

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10. 已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的重心， $c o s A = \frac{1}{5}$ ， $A O = 2$ ，则（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} \leq 3$ C、 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $3 \sqrt{6}$ D、 $a$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 + x) - f (2 - x) = 4 x$ .若 $f (2 x - 3)$ 的图象关于点 $(2, 1)$ 对称，且 $f (0) = 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 对称 B、函数 $g (x) = f (x) - 2 x$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、函数 $g (x) = f (x) - 2 x$ 的周期为2 D、 $f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (50) = 2499$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器、自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有种不同的选择方案.

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13. 已知 $s i n^{2} α = s i n 2 α$ ，则 $t a n α =$ ， $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ .

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14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左、右焦点， $M$ 是 $E$ 的左支上一点，过 $F_{2}$ 作 $∠ F_{1} M F_{2}$ 角平分线的垂线，垂足为 $N$ ， $O$ 为坐标原点，则 $| O N | =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 6$ ，且等差数列 ${a_{n} + a_{n + 1}}$ 的公差为4.

(1)、求 $a_{10}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} + a_{2 n - 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < 2 n^{2} + 2 n + \frac{1}{8}$ .

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16. 为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组： $[30, 40)$ ， $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ .整理得到如下频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)、从成绩在 $[30, 40)$ ， $[80, 90)$ 内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在 $[80, 90)$ 内的村民人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = \sqrt{2} P A = \sqrt{2} P B = 2$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P A E$ .

(2)、求二面角 $D - A P - E$ 的余弦值.

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18. 设抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，已知点 $F$ 到圆 $E$ ： ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 上一点的距离的最大值为6.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程.

(2)、设 $O$ 是坐标原点，点 $P (2, 4)$ ， $A$ ， $B$ 是抛物线 $C$ 上异于点 $P$ 的两点，直线 $P A$ ， $P B$ 与 $y$ 轴分别相交于， $N$ $M$ 两点（异于点 $O$ ），且 $O$ 是线段 $M N$ 的中点，试判断直线 $A B$ 是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{a x}{e^{x}}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x)$ 是增函数.

(2)、若 $f (x) \leq x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

(3)、证明： $\frac{l n 2}{2} + \frac{l n 3}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{l n n}{n} \leq n - \frac{e (1 - e^{- n})}{e - 1}$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N$ ）.

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

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