广东省2024届高三下学期高考模拟测试（二）数学试题

试卷更新日期：2024-04-24 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设复数 $z$ 满足 $| z - 3 + i | = 2, z$ 在复平面内对应的点为 $(x, y)$ ，则（）

A、 $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 2$ B、 $(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 2$ C、 $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ D、 $(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$

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2. 已知集合 $A = {x | l n (x - 1) \geq 0}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 3 x < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $[2, 3)$ C、 $(0, + ∞)$ D、 $[2, + \infty)$

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3. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 满足 $\vec{A E} = \frac{1}{4} \vec{A C}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D}$ B、 $- \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ C、 $\vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D}$ D、 $- \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$

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4. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1, S_{4} = 3 S_{3} + S_{1}$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 7$ C、5 D、7

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5. 在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为 $a_{1} = 1.00 m$ ，之后将小镜子前移 $a = 6.00 m$ ，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为 $a_{2} = 0.60 m$ ，已知人的眼睛距离地面的高度为 $h = 1.75 m$ ，则钟楼的高度大约是（）

A、 $27.75 m$ B、 $27.25 m$ C、 $26.75 m$ D、 $26.25 m$

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6. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (2) = 3$ ，若 $\forall x \in R, f^{'} (x) > 1$ ，则 $f (x) > x + 1$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(2, + ∞)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, + \infty)$

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，若等腰直角 $△ A B C$ 的直角边 $A C$ 为圆 $O$ 的一条弦，且圆心 $O$ 在 $△ A B C$ 外，点 $B$ 在圆 $O$ 外，则四边形 $O A B C$ 的面积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2} + 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2} + 1$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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8. 已知球 $O$ 与圆台 $O_{1} O_{2}$ 的上、下底面和侧面均相切，且球 $O$ 与圆台 $O_{1} O_{2}$ 的体积之比为 $\frac{1}{2}$ ，则球 $O$ 与圆台 $O_{1} O_{2}$ 的表面积之比为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 若 $y$ 是样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的平均数，则（）

A、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的极差等于 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, y$ 的极差 B、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的平均数等于 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, y$ 的平均数 C、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的中位数等于 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, y$ 的中位数 D、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的标准差大于 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, y$ 的标准差

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10. 下列函数中，是偶函数且在 $(- \frac{π}{2}, - \frac{π}{4})$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = | s i n 2 x |$ B、 $f (x) = | c o s 2 x |$ C、 $f (x) = | s i n x | + c o s x$ D、 $f (x) = s i n x + | c o s x |$

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11. 设 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $F_{1}$ ，过点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，过点 $A, B$ 分别作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $| A_{1} F_{1} | \cdot | B_{1} F_{1} | = {| F F_{1} |}^{2}$ B、 $| A_{1} B_{1} | \leq 2 | F F_{1} |$ C、 $| O A | \cdot | O B | = | O A_{1} | \cdot | O B_{1} |$ D、 $| O A | + | O B | \geq | O A_{1} | + | O B_{1} |$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. $(x - y) (x + y)^{6}$ 的展开式中 $x^{3} y^{4}$ 的系数为（用数字作答）.

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13. 将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为 $△ A B C$ ，其中 $C = \frac{π}{2}, A B = 14, B C = 7$ ，记桌面为平面 $α$ .若 $C \in α$ ，且 $B C$ 与平面 $α$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，则点 $A$ 到平面 $α$ 的距离的最大值为.

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14. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中放置着一个边长为1的等边三角形 $P A B$ ，且满足 $P B$ 与 $x$ 轴平行，点 $A$ 在 $x$ 轴上.现将三角形 $P A B$ 沿 $x$ 轴在平面直角坐标系 $x O y$ 内滚动，设顶点 $P (x, y)$ 的轨迹方程是 $y = f (x)$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为； $y = f (x)$ 在其两个相邻零点间的图象与 $x$ 轴所围区域的面积为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的焦点重合，其渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $A, B$ 为双曲线 $C$ 上的两点且不关于原点对称，直线 $l : y = \frac{1}{3} x$ 过 $A B$ 的中点，求直线 $A B$ 的斜率.

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16. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 是 $C C_{1}$ 的中点， $A C = B C, A A_{1} = A B$ .

(1)、证明： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、若 $B C ⊥ A C, A B = 2$ ，求平面 $A_{1} B D$ 与平面 $A B D$ 的夹角的余弦值.

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17. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + (1 - 2 a) x - 2 l n x, a > 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、函数 $f (x)$ 的图象上是否存在两点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ （其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ），使得直线 $A B$ 与函数 $f (x)$ 的图象在 $x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 处的切线平行？若存在，请求出直线 $A B$ ；若不存在，请说明理由.

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18. 已知正项数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ ，满足 $a_{n + 1} = \frac{b_{n} + c}{2}, b_{n + 1} = \frac{a_{n} + c}{2}$ （其中 $c > 0$ ）.

(1)、若 $a_{1} \neq b_{1}$ ，且 $a_{1} + b_{1} \neq 2 c$ ，证明：数列 ${a_{n} - b_{n}}$ 和 ${a_{n} + b_{n} - 2 c}$ 均为等比数列；

(2)、若 $a_{1} > b_{1}, a_{1} + b_{1} = 2 c$ ，以 $a_{n}, b_{n}, c$ 为三角形三边长构造序列 $△ A_{n} B_{n} C_{n}$ （其中 $A_{n} B_{n} = c, B_{n} C_{n} = a_{n}, A_{n} C_{n} = b_{n}$ ），记 $△ A_{n} B_{n} C_{n}$ 外接圆的面积为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} > \frac{π}{3} c^{2}$ ；

(3)、在（2）的条件下证明：数列 ${S_{n}}$ 是递减数列.

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19. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中有一个点阵，点阵中所有点的集合为 $M =$ ${(x, y) | {\begin{array}{l} x \leq n, \\ y \leq n, \\ x \in N, \\ y \in N, \end{array}}$ ，从集合 $M$ 中任取两个不同的点，用随机变量 $X$ 表示它们之间的距离.

(1)、当 $n = 2$ 时，求 $X$ 的分布列.

(2)、对给定的正整数 $n (n \geq 4)$ .
（i）求随机变量 $X$ 的所有可能取值的个数；（用含有 $n$ 的式子表示）
（ii）求概率 $P (X < \sqrt{2} (n - 1))$ .（用含有 $n$ 的式子表示）

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