广东省潮州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-04-23 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} = 2 x$ B、 $x - \frac{1}{x} = 1$ C、 $2 x y + 1 = 0$ D、 $a x^{2} + b x + c = 0$

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2. 下列事件中，是不可能事件的为（）．

A、打开电视机的新闻频道，它正在播新闻 B、任意买一张电影票，座位号是2的倍数 C、掷一枚硬币，正面向上 D、早晨太阳从西方升起

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3. 下列所给图形中是中心对称图形的为（）．

A、 B、 C、 D、

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4. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ D = 35 °$ ，则 $∠ B O C =$ （）

A、35° B、55° C、70° D、75°

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5. 抛物线 $y = - 2 {(x + 2)}^{2}$ 可由抛物线 $y = - 2 x^{2}$ （）平移得到．

A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位

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6. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 $90$ 场，设共有 $x$ 个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（）

A、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 90$ B、 $x (x + 1) = 90$ C、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 90$ D、 $x (x - 1) = 90$

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7. 如图， $△ A O B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转65°得到 $△ C O D$ ，若 $∠ C O D = 30 °$ ，则 $∠ B O C$ 的度数是（）

A、30° B、35° C、40° D、45°

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8. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O ， ⊙O的半径为1，则边心距OM的长为____．

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最优可能的是（）

A、暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球 B、掷一枚硬币，正面朝上 C、掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是2 D、从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是“红心”

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的顶点A、B与正方形 $E F G H$ 的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点落在 $C D$ 与y轴的交点上，两正方形的边 $A B$ 与 $E F$ 同时落在x轴上．若正方形 $A B C D$ 的边长为4，则正方形 $E F G H$ 的边长为（）．

A、 $2 \sqrt{5} + 2$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $2 \sqrt{5} - 2$ D、 $\sqrt{5} + 1$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

11. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有一个根为1，则实数k的值为．

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12. 二次函数 $y = 2 x^{2} - x - 3$ 图象的对称轴为直线．

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13. 在平面直角坐标系中，点 $A (a ， - 1)$ 与点 $B (2 ， b)$ 关于原点成中心对称，则 $a + b =$ ．

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14. 如图，电路图上有随机闭合开关 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 中的一个，能够让灯泡发光的概率为．

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15. 如图，正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，AB的长为半径画弧，连接AC，以A为圆心，AC的长为半径画弧，交AD的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 .

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三、解答题（一）：本大题共4小题，第16题6分，第17题7分，第18题6分，第19题7分，共26分

16. 解方程： $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ ．

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17. 学校举行“祖国在我心中”庆国庆系列活动，共设置有三项活动，并分别制作了编号为A、B、C的3张卡片（如表，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
活动编号
活动项目
A
书法比赛
B
讲红色经典故事
C
朗诵诗词

(1)、小红和小明两人同时在桌面上抽取一张卡片，请用“树状图”表示所有抽取的可能结果；

(2)、求小红、小明两人中恰好有一人抽到B卡“讲红色经典故事”的概率．

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18. 为了推进“绿美潮州”生态建设，潮州市某公司加快技术升级改造， $2023$ 年第一季度 $A$ 产品的生产成本是每件 $200$ 元，技术升级改造后， $A$ 产品的生产成本逐季度下降，第三季度 $A$ 产品的生产成本是每件 $128$ 元，若 $A$ 产品生产成本每个季度的平均下降率都相同．求该产品生产成本每个季度的平均下降率是多少．

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19. 如图，已知线段 $A B$ 是 $⊙ O$ 的一条弦．

(1)、实践与操作：用尺规作图法作出圆心O；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)、应用与计算：若弦 $A B = 10$ ，圆心O到 $A B$ 的距离为4，求 $⊙ O$ 的半径．

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四、解答题（二）：本大题共3小题，第20、21题各8分，第22题9分，共25分．

20. 有一个直径 $A B$ 为 $20 m$ 的圆形喷水池，如图1，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，如图2，水柱在距水池中心 $4 m$ 处到达最高，高度为 $6 m$ ．

(1)、如图2，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，求石柱右侧抛物线的函数解析式；

(2)、求出石柱的高度．

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21. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 42 °$ ， D为 $△ A B C$ 内一点，连接 $A D$ ，将 $A D$ 绕点A逆时针旋转 $42 °$ ，得到 $A E$ ，连接 $D E ， B D ， C E$ ．

(1)、求证： $B D = C E$ ；

(2)、若 $D E ⊥ A C$ ，求 $∠ B A D$ 的度数．

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22. 2023年亚运会在杭州举办，亚运会吉祥物“宸宸”深受广大人民的喜爱，某特许零售店吉祥物“宸宸”的销售日益火爆，已知每个“宸宸”纪念品的进价为40元，最高售价不能超过60元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．

(1)、吉祥物“宸宸”销售单价上涨多少元时，该店每天销售盈利可达到2400元；

(2)、将纪念品的销售单价上涨多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大？最大利润是多少元？

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五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．

23. 如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以线段 $B C$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点D，E为 $A B$ 中点，连接 $E D$ ，过点C作 $C F ∥ A B$ 交 $E D$ 的延长线于点F．

(1)、求证：直线 $E D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、判断 $△ C D F$ 的形状，并说明理由；

(3)、如图2，连接 $O F$ 交 $⊙ O$ 于点P，连接 $B P$ 交 $A C$ 于点Q，若D为 $A Q$ 中点， $A B = 6$ ，求 $P Q$ 的长．

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24. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 过点 $A (1 ， 4)$ 、 $B (- 3 ， 0)$ ，过点A作直线 $A C ∥ x$ 轴，交抛物线于另一点C ，在 $x$ 轴上有一点 $D (4 ， 0)$ ，连接 $C D$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、若在抛物线上存在点Q ，使得 $C D$ 平分 $∠ A C Q$ ，请求出点Q的坐标；

(3)、一动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $C - A - D$ 运动，运动时间为t秒，另一动点M在线段 $C D$ 上，问是否存在某一时刻使 $P M + A M = 4$ ？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

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活动编号	活动项目
A	书法比赛
B	讲红色经典故事
C	朗诵诗词