广东省茂名市电白区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-04-23 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 要制作一个“爱我中华”的展板，如图所示，用 $K T$ 板制作的“中”字的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $\frac{x}{x + y} = \frac{3}{7}$ ，则 $\frac{x}{y} =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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3. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 6$ ， $A B = 10$ ，则 $t a n B =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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4. 如图，身高 $1.7 m$ 的小利（ $C E$ ）站在距路灯杆 $5 m$ 的C点处，测得她在灯光下的影长 $C D$ 为 $2.5 m$ ，则路灯的高度 $A B$ 为（）

A、 $5.1 m$ B、 $4.8 m$ C、 $3.4 m$ D、 $4 m$

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5. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 8 x + c = 0$ 配方后得到方程 ${(x - 4)}^{2} = 4 c$ ，则c 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $\frac{8}{5}$ C、4 D、 $\frac{16}{5}$

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6. 将 $△ A B C$ 放大到3倍，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积比是（）

A、 $1 ： 2$ B、 $1 ： 3$ C、 $1 ： 4$ D、 $1 ： 9$

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7. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (2, 0)$ ， $B (4, 3)$ ， $D (5, 0)$ ， △ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（）

A、 $(10, 7.5)$ B、 $(8, 7)$ C、 $(10, 7)$ D、 $(8, 6)$

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8. 已知函数 $y = \frac{2}{x}$ ，当 $x < - 2$ 时，y的取值范围是（）

A、 $y > - 1$ B、 $y < - 1$ C、 $- 1 < y < 0$ D、 $y < 0$

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9. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O ， $A C = 3$ ， $D B = 4$ ，则点A到 $B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{48}{5}$

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 9$ ，点E ， F分别在边 $A B$ ， $C D$ 上， $∠ E F D = 60 °$ ，若将四边形 $E B C F$ 沿 $E F$ 折叠，点 $B^{'}$ 恰好落在 $A D$ 边上，则 $B E$ 的长度为（）

A、3 B、6 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．

11. $c o s α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $α =$ $°$ ．

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12. 如图，点A在反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图像上， $A B ⊥ x$ 轴于点B ，点C在y轴上， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，则m的值为．

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13. 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m² ，那么小道进出口的宽度应为米．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D 、 E$ 分别是 $A B 、 A C$ 的中点，点F是 $D E$ 上一点， $∠ A F C = 90 °$ ， $B C = 16 c m$ ， $A C = 10 c m$ ，则 $D F =$ $c m$ ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E、F分别在边 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 上， $D E ∥ B C$ ， $E F ∥ A B$ ， $C F = 3 B F$ ．如果 $S_{△ A D E} = 2$ ，那么 $S_{四边形 D B C E} =$ ．

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16. 如图，P是 $Rt △ A B C$ 的斜边 $A C$ （不与点A、C重合）上一动点，分别作 $P M ⊥ A B$ 于点M， $P N ⊥ B C$ 于点N，O是 $M N$ 的中点，若 $A B = 5$ ， $B C = 12$ ，当点P在 $A C$ 上运动时， $B O$ 的最小值是．

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三、解答题（一）：本大题共3小题，第17题8分，第18题6分，第19题7分，共21分．

17.

(1)、计算： $\frac{\sqrt{12}}{2} + | \sqrt{3} - 2 | - t a n 45 °$ ；

(2)、解方程： $x (x + 6) = 7$ ．

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18. 有两部不同的电影A、B ，甲、乙、丙3人分别从中任意选择一部观看．

(1)、甲、乙两人都选择A电影的概率是；

(2)、用画树状图的方法求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率．

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19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 2 m - 1 = 0$ 有实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、如果方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $2 x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} = 20$ ，求m的值．

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四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

20. 如图， $A B ∥ C D$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点E ，且 $A B = 8$ ， $A E = 4$ ， $A C = 16$ ．

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、求证： $△ A B E ∽ △ A C B$ ．

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21. 从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段，某商家在直播间销售一种进价为每件8元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足 $y = - 10 x + 400$ ，设销售这种商品每天的利润为W（元）．

(1)、求W与x之间的函数关系式；

(2)、该商家每天想获得2200元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？

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22. 某校数学兴趣小组为了测量建筑物 $C D$ 的高度，先在斜坡 $A B$ 的底部 $A$ 测得建筑物顶点 $C$ 的仰角为 $31 °$ ，再沿斜坡 $A B$ 走了 $39 m$ 到达斜坡顶点 $B$ 处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为 $55 °$ ，已知斜坡 $A B$ 的坡度 $i = 1 ： 2.4$ ．（参考数据： $t a n 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ， $t a n 31 ° \approx \frac{3}{5}$ ）

(1)、求点 $B$ 到地面的高度；

(2)、求建筑物 $C D$ 的高度．

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五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．

23. 如图，已知一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于点 $A (2 ， n)$ ， $B (- 3 ， - 1)$ 两点，与y轴相交于点C ．

(1)、求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、若点D与点C关于x轴对称，求 $△ A B D$ 的面积；

(3)、根据图象直接写出不等式 $a x + b - \frac{m}{x} > 0$ 的解集．

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24. 问题提出：如图1，E是菱形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点， $△ A E F$ 是等腰三角形， $A E = E F$ ， $∠ A E F = ∠ A B C = β (β \geq 90 °)$ ， $A F$ 交 $C D$ 于点G ，探究 $∠ G C F$ 与β的数量关系．
问题探究：

(1)、先将问题特殊化，如图2，当 $β = 90 °$ 时，求 $∠ G C F$ 的度数；

(2)、再探究一般情形，如图1，求 $∠ G C F$ 与β的数量关系；
问题拓展：
将图1特殊化，如图3，当 $A B = 3$ ， $β = 120 °$ ，且 $\frac{D G}{C G} = \frac{1}{2}$ 时，求 $C F$ 的值．

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