2024年人教A版高二下学期数学期中模拟试卷二

试卷更新日期：2024-04-23 类型：期中考试

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一、选择题（每题5分，共40分）

1. 已知 $a$ 为实数，复数 $z = (a - 2 i) (1 + i) + i$ 为纯虚数，则 $a =$ （）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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2. 已知正项等比数列 ${a_{n}} ， a_{2} \cdot a_{9} = 8$ ，则 $a_{5} = 2$ ，则公比 $q$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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3. 抛掷一个质地均匀的股子的试验，事件 $A$ 表示“小于5的偶数点出现”，事件 $B$ 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件 $A$ 或事件 $B$ 至少有一个发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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4. 已知 $α$ ， $β$ ， $γ$ 为不同的平面，m ， n ， l为不同的直线，则下列条件中一定能得到 $m ⊥ β$ 的是（）

A、 $α ∩ γ = m$ ， $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ B、 $α ⊥ β$ ， $α ∩ β = l$ ， $m ⊥ l$ C、 $n ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ D、 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $m ⊥ α$

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5. 直线 $l ： x + 2 y + 4 = 0$ 被圆 $C ： (x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ 截得的弦长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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6. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知 $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米 $38 k g$ ，则该“方斗”可盛米的总质量为（）

A、 $152 k g$ B、 $133 k g$ C、 $114 k g$ D、 $112 k g$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 2, f (- 2))$ 处的切线斜率小于零 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1,1)$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 3,3)$ 内至多有两个零点

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8. 已知直线 $l ： 2 x + 3 y = 0$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 无公共交点，则 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{13}}{2} ， + ∞)$ B、 $[\frac{\sqrt{13}}{3} ， + ∞)$ C、 $(1 ， \frac{\sqrt{13}}{2}]$ D、 $(1 ， \frac{\sqrt{13}}{3}]$

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二、多项选择题（每题6分，共18分）

9. 已知一组样本数据 $2 ， 4 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8$ ，则这组数据的（）

A、极差为6 B、众数为4 C、方差为4 D、中位数为5

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10. 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A ， B ， C ， D ， E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）

A、所有可能的方法有 $3^{5}$ 种 B、如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C、如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有25种 D、如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种

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11. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹*布劳威尔.简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 $f (x)$ ，存在一个点 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称 $x_{0}$ 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = c o s x$ 只有一个不动点 B、若定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，图象上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数 C、函数 $f (x) = l n x + 2$ 只有一个不动点 D、若函数 $f (x) = \sqrt{l n x + x^{2} - a x + 1}$ 在 $(0, + ∞)$ 上存在两个不动点，则实数a满足 $0 < a < 1$

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三、填空题（每题5分，共15分）

12. 若 ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{10} x^{10}$ ，则 $a_{5} =$ ．

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13. 设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线的向量，若 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C B} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， A ， B ， D三点共线，则 $λ$ 的值为.

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14. 若函数 $f (x) = e^{x} (2 x - 1) - b x + b$ 有两个零点，则正整数 $b$ 的最小值为．（其中 $e$ 是自然对数的底数，参考数据： $e^{\frac{1}{2}} \approx 1.65$ ， $e^{\frac{3}{2}} \approx 4.49$ ）

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四、解答题（共5题，共77分）

15. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $2 a c o s B = 2 c - b$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $D$ 为线段 $B C$ 延长线上一点，且 $B A ⊥ A D$ ， $B D = 3 C D$ ，求 $t a n ∠ A C D$ ．

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16. 如图所示，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A = S C = \frac{A B}{2} = 2$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $S B = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证：平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $\vec{D S} = \frac{1}{5} \vec{B S}$ ，求直线 $C D$ 与平面 $S A B$ 所成角的正弦值．

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17. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $a_{n + 1} = 3 S_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} l o g_{4} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 动点P与定点 $F (\sqrt{3} ， 0)$ 的距离和它到直线 $l ： x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的距离的比是常数 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，记点P的轨迹为E.

(1)、求E的方程；

(2)、已知 $M (0 ， 1)$ ，过点 $N (- 2 ， 1)$ 的直线与曲线E交于不同的两点A ， B ，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线 $M A$ ， $M B$ 分别与x轴交于C ， D两点，求四边形 $A C B D$ 面积的最大值.

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19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C： $y = f (x)$ 上的曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ ，其弧长为 $Δ s$ ，当动点从A沿曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ 运动到B点时，A点的切线 $l_{A}$ 也随着转动到B点的切线 $l_{B}$ ，记这两条切线之间的夹角为 $Δ θ$ （它等于 $l_{B}$ 的倾斜角与 $l_{A}$ 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 $\bar{K} = | \frac{Δ θ}{Δ s} |$ 为曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ 的平均曲率；显然当B越接近A ，即 $Δ s$ 越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义 $K = \underset{Δ s \to 0}{l i m} | \frac{Δ θ}{Δ s} | = \frac{| y^{″} |}{{(1 + {y^{'}}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ （若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示 $y = f (x)$ 在点A处的一阶、二阶导数）

(1)、求单位圆上圆心角为60°圆弧的平均曲率；

(2)、求椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 在 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ 处的曲率；

(3)、定义 $φ (y) = \frac{2 \sqrt{2} | y^{″} |}{{(1 + y^{'})}^{3}}$ 为曲线 $y = f (x)$ 的“柯西曲率”．已知在曲线 $f (x) = x l n x - 2 x$ 上存在两点 $P (x_{1}, f (x_{1}))$ 和 $Q (x_{2}, f (x_{2}))$ ，且P ， Q处的“柯西曲率”相同，求 $\sqrt[3]{x_{1}} + \sqrt[3]{x_{2}}$ 的取值范围．

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