2024年人教A版高二下学期数学期中模拟试卷一（新题型）

试卷更新日期：2024-04-22 类型：期中考试

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一、选择题（每题4分，共40分）

1. 已知集合 $M = {x | \sqrt{x} \leq 2}$ ， $N = {x | - 2 < x < 3}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x \leq 4}$ B、 ${x | - 2 < x \leq 4}$ C、 ${x | 0 \leq x < 3}$ D、 ${x | 0 \leq x < 4}$

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2. 设数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，则“ $a_{1} > 0$ 且 $0 < q < 1$ ”是“ ${a_{n}}$ 是递减数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2, \vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，则 $(\vec{a} + 3 \vec{b}) \cdot \vec{a} =$ （）

A、-2 B、2 C、-4 D、4

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4. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F ， $P (x, y)$ 为抛物线上一动点，点 $A (6, 3)$ ，则 $△ P A F$ 周长的最小值为（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 $f (x) = \frac{3 x}{1 - x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + x$ ， $g (x) = \log_{2} x + x$ ， $h (x) = x^{2} + \log_{2} x$ 的零点分别为a，b，c，下列各式正确的是（）

A、 $a + b > 0$ B、 $2^{a} + \log_{2} b > 0$ C、 $b > c$ D、 $2^{a} > c^{2}$

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7. 设圆 $C : (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 36$ 和不过第三象限的直线 $l : 4 x + 3 y - a = 0$ ，若圆 $C$ 上恰有三点到直线 $l$ 的距离为3，则实数 $a =$ （）

A、2 B、4 C、26 D、41

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8. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} ， g (x) = a x^{2}$ ，若总存在两条不同的直线与函数 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 图象均相切，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{e}{4} ， + ∞)$ B、 $(\frac{e}{2} ， + ∞)$ C、 $(\frac{1}{e} ， + ∞)$ D、 $(\frac{2}{e} ， + ∞)$

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二、多项选择题（每题6分，共18分）

9. 已知 ${(a \sqrt{x} + \frac{1}{x^{2}})}^{10} (a > 0)$ 的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（）

A、奇数项的二项式系数和为256 B、第6项的系数最大 C、存在常数项 D、有理项共有6项

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10. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体 $E - A B C D - F$ 的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）

A、共有18个顶点 B、共有36条棱 C、表面积为 $6 + 8 \sqrt{3}$ D、体积为 $8 \sqrt{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ，则（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y = x$ B、函数 $f (x)$ 的极小值为 $- e$ C、当 $\frac{2}{3 e^{2}} ⩽ a < \frac{1}{2 e}$ 时， $f (x) < a (x - 1)$ 仅有一个整数解 D、当 $2 e^{2} < a ⩽ \frac{3 e^{3}}{2}$ 时， $f (x) < a (x - 1)$ 仅有一个整数解

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三、填空题（每题5分，共15分）

12. 某公司新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工作进行指导.若每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲､乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为.（用数字作答）

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13. 在 $△ A B C$ 中， D为AC上一点且满足 $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{D C} ，$ 若P为BD的中点，且满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C} ，$ 则 $λ + μ$ 的值是.

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14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 $A$ ， $B$ 的距离之比为定值 $λ$ （ $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ ）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点 $M (x ， y)$ 到两个定点 $A (1 ， 0)$ ， $B (- 2 ， 0)$ 的距离之比为2，则 $\frac{y}{x - 1}$ 的取值范围为.

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四、解答题（共5题，共77分）

15. 某市为了了解校园安全教育系列活动的成效，对全市高中生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”､“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化，现随机抽取部分高中生的答卷，统计结果如下，对应的频率分布直方图如图所示.
等级
不合格
合格
得分
$[20 ， 40)$
$[40 ， 60)$
$[60 ， 80)$
$[80 ， 100)$
频数
12
$x$
48
24

(1)、求 $x ､ z$ 的值；

(2)、估计该市高中生测试成绩评定等级为“合格”的概率；

(3)、在抽取的答卷中，用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的答卷中抽取5份，再从这5份答卷中任取2份，求恰有1份评定等级为“不合格”的概率

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16. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{2} = 17$ ， ${\frac{S_{n}}{5 n + 7}}$ 是公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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17. 如图，在 $△ A O P$ 中， $O A ⊥ O P$ ， $O A = 2$ ， $O P = \sqrt{3}$ .将 $△ A O P$ 绕 $O P$ 旋转 $6 0^{∘}$ 得到 $△ B O P$ ， $D$ 、 $E$ 分别为线段 $O P$ 、 $A P$ 的中点.

(1)、求点 $D$ 到平面 $A B P$ 的距离；

(2)、求平面 $O B E$ 与平面 $A B P$ 夹角的余弦值.

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18. 如图，由部分椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0, y \leq 0)$ 和部分双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (y \geq 0)$ ，组成的曲线 $C$ 称为“盆开线”．曲线 $C$ 与 $x$ 轴有 $A (2, 0) 、 B (- 2, 0)$ 两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ ．

(1)、设过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相切于点 $M$ ，求点 $M$ 的坐标及直线 $l$ 的方程；

(2)、过 $A$ 的直线 $m$ 与 $C$ 相交于点 $P 、 A 、 Q$ 三点，求证： $∠ P B A = ∠ Q B A$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = x + a s i n x$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在R上是增函数，求a的取值范围；

(2)、设 $g (x) = x - \frac{1}{2} s i n x - l n x$ ，若 $g (x_{1}) = g (x_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ ，证明： $\sqrt{x_{1} x_{2}} < 2$ ．

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等级	不合格		合格
得分	$[20 ， 40)$	$[40 ， 60)$	$[60 ， 80)$	$[80 ， 100)$
频数	12	$x$	48	24