2024年人教A版高一下学期数学期中模拟试卷二（范围：必修一，必修二8.4）

试卷更新日期：2024-04-22 类型：期中考试

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一、选择题（每题5分，共40分）

1. 命题“ $\forall x \in (1, + \infty)$ ， $e^{2 x} \geq x + 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (1, + \infty)$ ， $e^{2 x} < x + 1$ B、 $\forall x \notin (1, + \infty)$ ， $e^{2 x} < x + 1$ C、 $\exists x \notin (1, + \infty)$ ， $e^{2 x} \geq x + 1$ D、 $\exists x \in (1, + \infty)$ ， $e^{2 x} < x + 1$

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2. 已知 $a$ 为实数，复数 $z = (a - 2 i) (1 + i) + i$ 为纯虚数，则 $a =$ （）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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3. 下列说法不正确的是（）

A、直四棱柱是长方体 B、正方体是平行六面体 C、长方体是平行六面体 D、平行六面体是四棱柱

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4. 判断下列各命题的真假：①向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 在 $△ A B C$ 中， $s i n^{2} \frac{A}{2} = \frac{c - b}{2 c}$ （ $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边），则 $△ A B C$ 的形状可能是（）

A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形

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6. 已知圆台上下底面半径之比为 $1 ： 2$ ，母线与底面所成的角的正弦值为 $\frac{3}{5}$ ，圆台体积为 $14 π$ ，则该圆台的侧面面积为（）

A、 $30 π$ B、 $18 π$ C、 $15 π$ D、 $9 π$

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7. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为S ，则“三斜求积”公式为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ 若 $a^{2} s i n C = 2 s i n A$ ， ${(a + c)}^{2} = 6 + b^{2}$ ，则用“三斜求积”公式求得 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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8. 若函数 $f (x) = l n (x^{2} - a x + 1)$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $(- \infty, \frac{5}{2})$ C、 $(- \infty, \frac{5}{2}]$ D、 $(\frac{5}{2}, 4]$

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二、多项选择题（每题5分，共20分）

9. 下列说法正确的有（）

A、已知 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, x)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $x = - 4$ B、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ C、若 $| \vec{a} | \neq | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 一定不与 $\vec{b}$ 共线 D、若 $\vec{A B} = (3, 1)$ ， $\vec{A C} = (m - 1, m)$ ， $∠ B A C$ 为锐角，则实数 $m$ 的范围是 $m > \frac{3}{4}$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) ($ 其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < π)$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 对称
B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称
C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}]$ 上单调递增
D、 $y = 1$ 与图象 $y = f (x) (- \frac{π}{12} \leq x \leq \frac{23 π}{12})$ 的所有交点的横坐标之和为 $\frac{8 π}{3}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $c = \sqrt{2}$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $B = \frac{π}{4} ， 1 < b < \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $B \in (\frac{π}{2} ， π) ， b > \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 无解 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $B = 2 C$ ，则 $s i n A \in (\frac{\sqrt{2}}{4} a ， \frac{1}{2} a)$ D、若 $A + B = 2 C$ ，则 $a + b$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} x | ， 0 < x \leq 2 \\ x^{2} - 6 x + 9 ， x > 2 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = k$ 有四个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < k \leq 1$ B、 $2 x_{1} + x_{2} \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $x_{1} x_{2} + x_{3} + x_{4} = 6$ D、 $x_{1} + 2 x_{2} > 3$

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三、填空题（每题5分，共20分）

13. 设 $A = {(x, y) | 3 x + y = 1}$ ， $B = {(x, y) | y = (1 - 2 k^{2}) x + 5}$ ，若 $A \cap B = ⌀$ ，则 $k =$ ．

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14. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2 ， 2]$ ，则函数 $g (x) = f (2 x) + \sqrt{1 - 2^{x}}$ 的定义域为．

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15. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上， $\vec{A F} = 2 \vec{F D}$ ，则 $\vec{B E} \cdot \vec{C F} =$ .

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16. 一个正四棱锥底面边长为2，高为 $\sqrt{3}$ ，则该四棱锥的内切球表面积为.

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四、解答题（共6题，共71分）

17. 已知复数 $z = x + y i$ ， $(x \in R ， y \in R)$ ，其中i为虚数单位，且满足 $| z | = 2$ ，且 $\bar{z} - 1$ 为纯虚数.

(1)、若复数 $z = x + y i$ ， $(x \in R ， y \in R)$ 在复平面内对应点在第一象限，求复数z；

(2)、求 $\frac{\sqrt{3} + 2 i}{z}$ ；

(3)、若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程 $x^{2} + m x + n = 0 (m ， n \in R)$ 的一个根，求实数m ， n的值.

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18. 设a ， b ， c分别为 $△ A B C$ 内角A ， B ， C的对边，已知 $b = 2$ ， $\frac{1}{2} c + 2 = a c o s C$ .

(1)、求A的值；

(2)、若 $5 \vec{A D} = 2 \vec{A B} + 3 \vec{A C}$ ， $C D = b$ ，求c的值.

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19. 如图，某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成，已知正三棱柱的底面边长与高均为1cm，正三棱台的下底面边长为2cm，且正三棱台的高为1cm，现有一盒这种零件共重 $650 \sqrt{3} g$ （不包含盒子的质量），取铁的密度为 $7.8 g / c m^{3}$ ．

(1)、试问该盒中有多少个这样的零件？

(2)、如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，试问共需涂多少 $c m^{2}$ 的材料？

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20. 设函数 $f (x) = s i n 2 x - \sqrt{3} c o s 2 x - 1$ ．

(1)、设 $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{6}]$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值和最小值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x + φ) + 4 m (m \in R) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 为偶函数，求 $φ$ 的值，并求函数 $g (x)$ 的单调增区间．

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21. 在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R ，且 $| \vec{A O} | = 2 | \vec{O C} |$ ，设AB= $\vec{a}$ ， AC= $\vec{b}$

(1)、试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A R}$ ；

(2)、若 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 1, ⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ = 60 °$ ，求∠ARB的余弦值；

(3)、若H在BC上，且RH⊥BC ，设 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 1, θ = \vec{a}, \vec{b}$ ，若 $θ \in [\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ ，求 $\frac{| \vec{C H} |}{| \vec{C B} |}$ 的范围.

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1) + k x$ 是偶函数．

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、设 $g (x) = l o g_{2} (a \cdot 2^{x} - \frac{4}{3} a) (a \in R)$ ，若函数 $y = f (x) - g (x)$ 有唯一的零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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