2024年人教A版高一下学期数学期中模拟试卷一（新题型，范围：必修一，必修二到8.4）

试卷更新日期：2024-04-22 类型：期中考试

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一、选择题（每题5分，共40分）

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {y | y = 2^{x} + 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $(0 ， 3]$ D、 $(1 ， + \infty)$

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2. 已知i为复数单位， $\frac{3 + a i}{1 - i} = 2 + i (a \in R)$ ，则复数 $z = 2 + a i$ 在复平面上对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知实数m、n满足2m+n=2，其中mn＞0，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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5. 已知平面向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 1, λ)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b})$ $∥$ $\vec{a}$ ，则 $λ =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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6. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c.若 $△ A B C$ 的面积为S ， $a = 2, 4 S = b^{2} + c^{2} - 4$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的面积为（）

A、 $4 π$ B、 $8 π$ C、 $π$ D、 $2 π$

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7. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ，若 $a = f (l o g_{2} 6) ， b = - f (l o g_{2} \frac{2}{9}) ， c = f (3^{0.5})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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8. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 底面的四个顶点A ， B ， C ， D在球O的同一个大圆上，点P在球面上.若 $V_{P - A B C D} = \frac{16}{3}$ ，则球O的体积是（）

A、 $32 π$ B、 $16 π$ C、 $\frac{32}{3} π$ D、 $8 π$

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二、多项选择题（每题6分，共18分）

9. 若三个平面两两相交，有三条交线，则下列说法不正确的是（）

A、三条交线为异面直线 B、三条交线两两平行 C、三条交线交于一点 D、二条交线两两平行或交于一点

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的相邻对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且 $f (x)$ 图象经过点 $P (\frac{π}{3} ， 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、该函数解析式为 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ B、函数 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(- \frac{2 π}{3} ， 0)$ C、函数 $y = \sqrt{\sqrt{2} f (x) - 1}$ 的定义域为 $[- \frac{π}{24} + k π ， \frac{5 π}{24} + k π] (k \in Z)$ D、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $b (b > 0)$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，且函数 $g (x)$ 的图象关于原点对称，则b的最小值为 $\frac{π}{3}$ .

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11. 将两个各棱长均为1的正三棱锥 $D - A B C$ 和 $E - A B C$ 的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）

A、该几何体的表面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、该几何体的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直 D、直线 $A D / /$ 平面 $B C E$

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三、填空题（每题5分，共15分）

12. 若“ $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ ”是“ $x < a$ ”的必要不充分条件，则a的最大值为．

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13. 如图，平行四边形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是四边形 $O A B C$ 的直观图.若 $O^{'} A^{'} = 3, O^{'} C^{'} = 2$ ，则原四边形 $O A B C$ 的周长为.

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14. 如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为 $12 d m$ 的正方形铝板制作一个无底面的正 $n$ 棱锥 $($ 侧面为等腰三角形，底面为正 $n$ 边形 $)$ 道具，他们以正方形的几何中心为圆心， $6 d m$ 为半径画圆，仿照我国古代数学家刘徽的割圆术裁剪出 $m$ 份，再从中取 $n$ 份，并以 $O$ 为正 $n (n \geq 3)$ 棱锥的顶点，且 $O$ 落在底面的射影为正 $n$ 边形的几何中心 $O_{1} ， ∠ A_{1} O_{1} A_{2} = \frac{2 π}{n}$ ，侧面等腰三角形的顶角为 $∠ A_{1} O A_{2} = α$ ，当 $c o s ∠ A_{1} O_{1} A_{2} = 2 c o s α - 1$ 时，设正棱锥的体积为 $V d m^{3}$ ，则 $\frac{V}{n}$ 的最大值为．

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四、解答题（共5题，共77分）

15. 已知复数 $z = m^{2} + m - 2 + (m - 1) i (m \in R)$

(1)、若 $z$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $z$ 在复平面内对应的点在直线 $y = \frac{1}{2} x$ ，求 $| z |$ ．

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16. 已知平面向量 $\overset{⃑}{a} = (3,4)$ ， $\overset{⃑}{b} = (9, x)$ ， $\overset{⃑}{c} = (4, y)$ ，且 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{c}$

(1)、求 $\overset{⃑}{b}$ 和 $\overset{⃑}{c}$ ；

(2)、若 $\overset{⃑}{m} = 2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{n} = \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{c}$ ，求向量 $\overset{⃑}{m}$ 在向量 $\overset{⃑}{n}$ 的投影向量的坐标．

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17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知已知 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 2$ ， $c = 3$ ，求 $a$ 的值；

(3)、若 $a^{2} = b c$ ，判断 $△ A B C$ 的形状．

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18. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (s i n C ， c o s C)$ ， $\vec{n} = (2 s i n A - c o s B ， - s i n B)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求角C的值；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = 3^{x} + (k - 2) \cdot 3^{- x}$ （x∈R）为奇函数.

(1)、求实数k的值；

(2)、若对 $\forall x \in$ [-2，-1]，不等式 $f (x) + m · 3^{x}$ ≤6恒成立，求实数m的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = λ f (x) - (3^{x} + 3^{- x})^{2}$ -5在[1，+∞]上有零点，求实数 $λ$ 的取值范围.

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