广东省广州市四中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-22 类型：月考试卷

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一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）

1. 若函数 $f (x) = e^{2 x} + e^{2}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $e^{2}$ B、 $2 e^{2}$ C、 $3 e^{2}$ D、 $4 e^{2}$

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2. 函数 $y = x c o s x - s i n x$ 在下面哪个区间内是增函数

A、 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ B、 $(π, 2 π)$ C、 $(\frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2})$ D、 $(2 π, 3 π)$

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3. A ， B ， C ， D ， E五人站成一排，如果A ， B必须相邻，那么排法种数为（　　）

A、24 B、120 C、48 D、60

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4. 函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{^{'}} (x)$ 的图象如图所示，则下面说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 1)$ 上单调递增 C、 $x = - 3$ 为函数 $f (x)$ 的极小值点 D、 $x = 2$ 为函数 $f (x)$ 的极大值点

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5. 若函数 $f (x) = a e^{x} - x$ 恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{e})$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{e})$ D、 $(- \infty, 0)$

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6. 已知 $a = \frac{l n 2}{2}, b = \frac{1}{e}, c = \frac{l n 3}{3}$ ，则a ， b ， c大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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7. 已知函数 $f (x) = 2 l n x + \frac{1}{2} x^{2} - a x$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递增，则实数a的最大值为（）

A、3 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = e^{x - 2}$ 的切线，也是曲线 $y = e^{x} - 1$ 的切线，则 $k + b =$ （）

A、 $\frac{- ln 2}{2}$ B、 $\frac{1 - ln 2}{2}$ C、 $\frac{ln 2 - 1}{2}$ D、 $\frac{ln 2}{2}$

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二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）

9. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(l n 7)}^{^{'}} = \frac{1}{7}$ B、 ${[(x^{2} + 2) s i n x]}^{^{'}} = 2 x s i n x + (x^{2} + 2) c o s x$ C、 ${(\frac{x^{2}}{e^{x}})}^{^{'}} = \frac{2 x - x^{2}}{e^{x}}$ D、 ${[l n (3 x + 2)]}^{^{'}} = \frac{1}{3 x + 2}$

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10. 某中学从4名男生和3名女生中推荐4个参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则（）

A、若选1男3女，有4种选法 B、若选2男2女，有18种选法 C、若选3男1女，有12种选法 D、共有36种不同的选法

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11. 已知函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上可导，且 $f (0) = 1$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $(x - 1) [f^{'} (x) - f (x)] \geq 0$ （当且仅当 $x = 1$ 时取等号），对于函数 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 在 $(- \infty, 1)$ 上为减函数 B、 $x = 1$ 是函数 $g (x)$ 的极大值点 C、函数 $g (x)$ 必有2个零点 D、 $e^{2} f (e) > e^{e} f (2)$

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三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）

12. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x$ ，若 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} = 2$ ，则实数 $a$ 的值为．

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13. 5名医生各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是.（结果用数字作答）

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14. 已知函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2}$ 在 $x = 2$ 处有极小值，则 $c$ 等于；若曲线 $y = f (x)$ 有 $3$ 条过点 $(0, a)$ 的切线，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题：（本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）

15. 已等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}, a_{2} = 2 a_{1} + 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = 3^{n - 1}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 1$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 2, 3]$ 上的单调区间、最值．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D$ // $B C$ ， $C D ⊥ A D$ ， $A D = C D = 2 B C = 2$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ .

(1)、求证： $C D ⊥ P A$ ；

(2)、求二面角 $C - P A - D$ 的余弦值．

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18. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (- 2, - 1)$ ，长轴长为 $4 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆方程及离心率；

(2)、直线l： $y = k x + m$ 与椭圆C交于两点M、N ，直线AM、AN分别与直线 $x = - 4$ 交于点P、Q ， O为坐标原点且 $| O P | = | O Q |$ ，求证：直线l过定点，并求出定点坐标.

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19. 已知函数 $f (x) = x - a l n (1 + x), a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：对于任意正整数 $n$ ，都有 $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ⋯ + \frac{1}{2 n - 1} > \frac{1}{2} l n (2 n + 1)$ ；

(3)、设 $p (x) = x - 1 - f (x - 1), a > 0$ ，若 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 为曲线 $y = p (x)$ 的两个不同点，满足 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{3} \in (x_{1}, x_{2})$ ，使得曲线 $y = p (x)$ 在 $(x_{3}, p (x_{3}))$ 处的切线与直线AB平行，求证： $x_{3} < \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ．

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