广东省惠州市三校2023-2024学年高二下学期4月联考数学试题

试卷更新日期：2024-04-22 类型：月考试卷

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若 $A_{m}^{2} = 3 C_{m}^{3}$ ，则m等于（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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2. 从 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ ， $7$ ， $9$ 中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有( )

A、 $30$ 个 B、 $42$ 个 C、 $41$ 个 D、 $39$ 个

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3. 五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从 $A, B, C, D$ 四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过 $A$ 景点，所以甲不选 $A$ 景点，则不同的选法有（）

A、60 B、48 C、54 D、64

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4. 已知函数 $f (x) = a x^{a + b}$ 的导函数为 $f^{'} (x) = 12 x^{3}$ ，则（）

A、 $b (a + b) = 12$ B、 $a (a + b) = 36$ C、 $a = 3, b = 1$ D、 $a = 1, b = 3$

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5. 一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩均不相邻的站法种数是（）

A、6 B、12 C、18 D、36

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6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列 ${a_{n}}$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{2024}} =$ （）

A、 $\frac{2023}{2024}$ B、 $\frac{4048}{2025}$ C、 $\frac{4046}{2025}$ D、 $\frac{2023}{1012}$

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7. 将数列 ${3 n - 1}$ 与 ${2^{n}}$ 的公共项从小到大排列得到数列 ${a_{n}}$ ，则 $a_{20} =$ （）

A、 $2^{37}$ B、 $2^{38}$ C、 $2^{39}$ D、 $2^{40}$

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8. 若过点 $(a, b)$ 可以作曲线 $y = l n x$ 的两条切线，则（）

A、 $b > l n a$ B、 $b < l n a$ C、 $a < 0$ D、 $b > e^{a}$

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{4} = 27$ ，则（）

A、 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 的公比为 $9$ B、 ${l o g_{3} a_{n + 1}}$ 的前 $20$ 项和为 $210$ C、 ${a_{n}}$ 的前 $20$ 项积为 $3^{200}$ D、 $\sum_{k = 1}^{n} (a_{k} + a_{k + 1}) = 2 (3^{n - 1} - 1)$

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10. 身高各不相同的六位同学 $A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F$ 站成一排照相，则说法正确的是（）

A、A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B、A与 $C$ 同学不相邻，共有 $A_{4}^{4} \cdot A_{5}^{2}$ 种站法 C、A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D、A不在排头，B不在排尾，共有504种站法

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11. 定义：设 $f^{^{'}} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{^{'}} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + \frac{5}{3} (a b \neq 0)$ 的对称中心为 $(1, 1)$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = - 1$ B、函数 $f (x)$ 既有极大值又有极小值 C、函数 $f (x)$ 有三个零点 D、过 $(- 1, \frac{1}{3})$ 可以作三条直线与 $y = f (x)$ 图象相切

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三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分）

12. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，若 $a_{1} = 2, a_{4} = 2 a_{3}$ ，则 $S_{5} =$ .

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13. 某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有种不同的涂色方法.

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14. 已知定义在R上的函数f（x）， $f^{'} (x)$ 为f（x）的导函数， $f^{'} (x)$ 定义域也是R，f（x）满足 $f (x + 1012) - f (1013 - x) = 4 x + 1$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2024} f^{'} (i) =$ .

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四、解答题：共77分.解答时应写出文字说明、解答过程或演算步骤.

15. 设 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + a .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 的极大值为 $10$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的最小值．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n \in N^{*})$ ，且 $a_{5}, a_{6}, a_{9}$ 成等比数列，

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最小值及此时 $n$ 的值.

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17. 已知10件不同的产品中有4件次品，现对这10件产品一一进行测试，直至找到所有次品.

(1)、若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第8次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试情况？

(2)、若至多测试6次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{1} + \frac{1}{2} a_{2} + \frac{1}{3} a_{3} + ⋯ + \frac{1}{n} a_{n} = a_{n + 1} - 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ，记 $T_{n}$ 为 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，证明： $n \geq 3$ 时， $T_{n} < n (2^{n + 1} - 4)$ .

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19. 已知函数 $f (x) = l n x + 2 x - b (b > 2)$ .

(1)、证明： $f (x)$ 恰有一个零点 $a$ ，且 $a \in (1 ， b)$ ；

(2)、我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取 $x_{1} \in (1 ， a)$ ，实施如下步骤：在点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 处作 $f (x)$ 的切线，交 $x$ 轴于点 $(x_{2} ， 0)$ ：在点 $(x_{2} ， f (x_{2}))$ 处作 $f (x)$ 的切线，交 $x$ 轴于点 $(x_{3} ， 0)$ ；一直继续下去，可以得到一个数列 ${x_{n}}$ ，它的各项是 $f (x)$ 不同精确度的零点近似值.
（i）设 $x_{n + 1} = g (x_{n})$ ，求 $g (x_{n})$ 的解析式；
（ii）证明：当 $x_{1} \in (1 ， a)$ ，总有 $x_{n} < x_{n + 1} < a$ .

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