浙江省培优联盟2023-2024学年高二下学期4月联考数学试题

试卷更新日期：2024-04-22 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 2}, B = {- 1, 0, 2, 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${- 1, 0, 2}$ C、 ${- 1, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

查看试题解析
2. 已知复数 $z = \frac{1 + i}{2 - i}$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

查看试题解析
3. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，公比 $q = 2$ 且 $a_{1} + a_{2} = 1$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、8 D、4

查看试题解析
4. 过点 $(4, - \sqrt{3})$ 且与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 有相同渐近线的双曲线方程是（）

A、 $\frac{y^{2}}{12} - \frac{x^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{12} = 1$

查看试题解析
5. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(e^{2})}^{^{'}} = 2 e$ B、 ${[(2 x + 7)^{2}]}^{^{'}} = 2 (2 x + 7)$ C、 ${(c o s 2 x)}^{^{'}} = 2 s i n 2 x$ D、 ${(\frac{l n x}{x})}^{^{'}} = \frac{1 - l n x}{x^{2}}$

查看试题解析
6. 韩愈的《师说》中写道：“李氏子蟠，年十七，好古文，六艺经传皆通习之，不拘于时，学于余．余嘉其能行古道，作《师说》以贻之．”六艺具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节课程，连排六节，则“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法种数为（）

A、84 B、96 C、168 D、204

查看试题解析
7. $(x + 1)^{10} = a_{0} + a_{1} (x + 2) + a_{2} (x + 2)^{2} + ⋯ + a_{10} (x + 2)^{10}$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、180 B、 $- 180$ C、45 D、 $- 45$

查看试题解析
8. 圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，高为2，点 $C$ 是底面直径 $A B$ 所对弧的中点，点 $D$ 是母线 $P B$ 的中点，则异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值及 $C D$ 与底面所成角的正弦值分别为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{19}}{19}, \frac{\sqrt{285}}{19}$ B、 $\frac{\sqrt{57}}{19}, \frac{\sqrt{285}}{19}$ C、 $\frac{4 \sqrt{19}}{19}, \frac{2 \sqrt{19}}{19}$ D、 $\frac{\sqrt{57}}{19}, \frac{2 \sqrt{19}}{19}$

查看试题解析

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有3个零点 B、 $f (x)$ 在原点处的切线方程为 $y = - x$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[0, 3]$ 上的最大值为4

查看试题解析
10. 设数列 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，则（）

A、 $a_{3}, a_{5}, a_{7}$ 是等比数列 B、 ${a_{n}^{3}}$ 是等比数列 C、 ${l g a_{n}}$ 是等比数列 D、 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等比数列

查看试题解析
11. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，抛物线上一点 $P (1, t)$ 到焦点 $F$ 的距离为2，过焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A, B$ 两点，下列说法正确的是（）

A、 $p = 1$ B、若直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $| A B | = 8$ C、 $\frac{1}{| A F |} + \frac{1}{| B F |} = 1$ D、若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}, A$ 在 $x$ 轴的上方，则直线 $A B$ 的斜率为 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. $(2 x - 3)^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的系数是．

查看试题解析
13. 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1个球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是．

查看试题解析
14. 若函数 $f (x) = (m x^{2} - x) e^{x}$ 在 $[1, 3]$ 上存在单调递增区间，则 $m$ 的取值范围是．

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} + a_{3} = 4, S_{5} = 15$ ．等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{3}^{2} = b_{5}, b_{10} = 3 b_{9}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
16. 在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边，且满足 $\sqrt{3} a - \sqrt{3} c c o s B + b s i n C = 0$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}, D$ 为 $A B$ 的中点且 $| C D | = \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

查看试题解析
17. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 1, A A_{1} = \sqrt{3}, A B ⊥ A C, B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C, E$ 是 $B_{1} C$ 的中点．

(1)、证明：直线 $A_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ ；

(2)、求平面 $A E B$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 夹角的正弦值．

查看试题解析
18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右焦点为 $F$ ，圆 $O : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ ，过 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被圆 $O$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l : y = k x - 2$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $△ O A B$ 面积的最大值．

查看试题解析
19. 一般地，设函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，用分点 $a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{i - 1} < x_{i} < ⋯ < x_{n} = b$ 将区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间，每个小区间长度为 $Δ x (Δ x = x_{i} - x_{i - 1})$ ，在每个小区间 $[x_{i - 1}, x_{i}]$ 上任取一点 $ξ_{i} (i = 1, 2, ⋯, n)$ ，作和式 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x = \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1})$ ．
如果 $Δ x$ 无限接近于0（亦即 $n \to + \infty$ ）时，上述和式 $S_{n}$ 无限趋近于常数 $S$ ，那么称该常数 $S$ 为函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，记为 $S = \int_{a}^{b} f (x) d x$ ．当 $f (x) \geq 0$ 时，定积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 的几何意义表示由曲线 $y = f (x)$ ，两直线 $x = a, x = b$ 与 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面积．如果 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的连续函数，并且 $F^{'} (x) = f (x)$ ，那么 $\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x) |}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ ．

(1)、求 $\int_{1}^{2} (e^{x} + x) d x$ ；

(2)、设函数 $f (x) = l n (x + 1), g (x) = x f^{'} (x) (x \geq 0)$ ．
①若 $f (x) \geq m g (x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；
②数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n} = g (a_{n - 1})$ ，利用定积分几何意义，证明： $\sum_{i = 2}^{n} a_{i} < l n n < \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ ．

查看试题解析