浙江省杭州市2024届高三下学期二模数学试题

试卷更新日期：2024-04-22 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数 $y = | s i n x |$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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2. 设 $m, n$ 表示两条不同直线， $α$ 表示平面，则（）

A、若 $m ∥ α, n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ⊥ α, n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n ∥ α$ D、若 $m ∥ α, m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$

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3. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是两个单位向量，若向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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4. 设甲：“函数 $f (x) = 2 s i n ω x$ 在 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 单调递增”，乙：“ $0 < ω \leq 2$ ”，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1, a_{n} + b_{n + 1} = 2 n, a_{n + 1} + b_{n} = 2^{n}$ ．设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项的和，则 $S_{7} =$ （）

A、110 B、120 C、288 D、306

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6. 将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是（）

A、300 B、240 C、150 D、50

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7. 设集合 $M = {1, - 1}, N = {x | x > 0 且 x \neq 1}$ ，函数 $f (x) = a^{x} + λ a^{- x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则（）

A、 $\forall λ \in M, \exists a \in N, f (x)$ 为增函数 B、 $\exists λ \in M, \forall a \in N, f (x)$ 为减函数 C、 $\forall λ \in M, \exists a \in N, f (x)$ 为奇函数 D、 $\exists λ \in M, \forall a \in N, f (x)$ 为偶函数

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8. 在 $△ A B C$ 中，已知 $\frac{s i n A}{s i n B} = n s i n C, \frac{c o s A}{c o s B} = n c o s C$ ．若 $t a n (A + \frac{π}{4}) = - 3$ ，则 $n =$ （）

A、无解 B、1 C、2 D、3

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + t x + 1 = 0 (- 2 < t < 2)$ 的两根为 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ ，则（）

A、 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ B、 $z_{1} \cdot z_{2} = 1$ C、 $| z_{1} | = | z_{2} |$ D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \bar{(\frac{z_{1}}{z_{2}})}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $x$ 均满足 $2 f (x) + f (x^{2} - 1) = 1$ ，则（）

A、 $f (- x) = f (x)$ B、 $f (\sqrt{2}) = 1$ C、 $f (- 1) = \frac{1}{3}$ D、函数 $f (x)$ 在区间 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ 上不单调

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11. 过点 $P (2, 0)$ 的直线与抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 交于 $A, B$ 两点．抛物线 $C$ 在点 $A$ 处的切线与直线 $x = - 2$ 交于点 $N$ ，作 $N M ⊥ A P$ 交 $A B$ 于点 $M$ ，则（）

A、直线 $N B$ 与抛物线C有2个公共点 B、直线 $M N$ 恒过定点 C、点 $M$ 的轨迹方程是 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1 (x \neq 0)$ D、 $\frac{M N^{3}}{A B}$ 的最小值为 $8 \sqrt{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 写出与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切且方向向量为 $(1, \sqrt{3})$ 的一条直线的方程．

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13. 函数 $f (x) = \frac{- x^{2} + 3 x + 2}{\sqrt{x + 1}}$ 的最大值为．

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14. 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为 $12 c m$ ，开口直径为 $8 c m$ ．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}, a_{2 n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 3$ ，令 $a_{n} \cdot b_{n} = a_{n + 2} \cdot b_{n + 1}$ ，求证： $\sum_{k = 1}^{n} b_{k} < \frac{9}{2}$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = a l n (x + 2) - \frac{1}{2} x^{2} (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点，
（ⅰ）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）证明：函数 $f (x)$ 有且只有一个零点．

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17. 如图，在多面体 $A B C D P Q$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ D A B = 60 °, B C = 2 P Q = 4 A B = 4, M$ 为 $B C$ 的中点， $P Q ∥ B C, P D ⊥ D C, Q B ⊥ M D$ ．

(1)、证明： $∠ A B Q = 90 °$ ；

(2)、若多面体 $A B C D P Q$ 的体积为 $\frac{15}{2}$ ，求平面 $P C D$ 与平面 $Q A B$ 夹角的余弦值．

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18. 已知 $A, B$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左，右顶点，点 $M (m, 0) (m > 0)$ 与椭圆上的点的距离的最小值为1．

(1)、求点 $M$ 的坐标．

(2)、过点 $M$ 作直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $C, D$ 两点（与 $A, B$ 不重合），连接 $A C$ ， $B D$ 交于点 $G$ ．
（ⅰ）证明：点 $G$ 在定直线上；
（ⅱ）是否存在点 $G$ 使得 $C G ⊥ D G$ ，若存在，求出直线 $l$ 的斜率；若不存在，请说明理由．

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19. 在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球 $n$ 次，红球出现 $m$ 次．假设每次摸出红球的概率为 $p$ ，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率 $p$ 的估计值为 $\hat{p} = \frac{m}{n}$ ．

(1)、若袋中这两种颜色球的个数之比为 $1 : 3$ ，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为 $Y$ ，则 $Y ～ B (3, p)$ ．
注： $P_{p} (Y = k)$ 表示当每次摸出红球的概率为 $p$ 时，摸出红球次数为 $k$ 的概率）
（ⅰ）完成下表；
$k$
0
1
2
3
$P_{\frac{1}{4}} (Y = k)$
$\frac{27}{64}$
$\frac{1}{64}$
$P_{\frac{3}{4}} (Y = k)$
$\frac{9}{64}$
$\frac{27}{64}$
（ⅱ）在统计理论中，把使得 $P_{p} (Y = k)$ 的取值达到最大时的 $p$ ，作为 $p$ 的估计值，记为 $\hat{p}$ ，请写出 $\hat{p}$ 的值．

(2)、把（1）中“使得 $P_{p} (Y = k)$ 的取值达到最大时的 $p$ 作为 $p$ 的估计值 $\hat{p}$ ”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．
具体步骤：先对参数 $θ$ 构建对数似然函数 $l (θ)$ ，再对其关于参数 $θ$ 求导，得到似然方程 $l^{'} (θ) = 0$ ，最后求解参数 $θ$ 的估计值．已知 $Y ～ B (n, p)$ 的参数 $p$ 的对数似然函数为 $l (p) = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} l n p + \sum_{i = 1}^{n} (1 - X_{i}) l n (1 - p)$ ，其中 $X_{i} = {\begin{array}{l} 0, 第 i 次摸出白球 \\ 1, 第 i 次摸出红球 \end{array}$ ．求参数 $p$ 的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．

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$k$	0	1	2	3
$P_{\frac{1}{4}} (Y = k)$	$\frac{27}{64}$			$\frac{1}{64}$
$P_{\frac{3}{4}} (Y = k)$		$\frac{9}{64}$		$\frac{27}{64}$