浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试卷

试卷更新日期：2024-04-22 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {x | x = 3 k - 1, k \in N}$ ，则 $A ∩ B =$ ( )

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${1}$ D、 ${2}$

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2. 若复数z满足： $z + 2 \bar{z} = 3 - 2 i$ ，则 $| z |$ 为( )

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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3. 若函数 $f (x) = l n (e^{x} + 1) + a x$ 为偶函数，则实数a的值为( )

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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4. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{a - 1} = 1$ 的离心率e的可能取值为( )

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 在 $△ A B C$ 中，“A ， B ， C成等差数列且 $s i n A$ ， $s i n B$ ， $s i n C$ 成等比数列”是“ $△ A B C$ 是正三角形”的( )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知抛物线 $C_{1} : x^{2} = 2 y$ 的焦点为F ，以F为圆心的圆 $C_{2}$ 交 $C_{1}$ 于A ， B两点，交 $C_{1}$ 的准线于C ， D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆 $C_{2}$ 的方程为( )

A、 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 12$ B、 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 16$ C、 $x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 3$ D、 $x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 4$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + 1, x \leq 0 \\ l n x, \begin{array}{l} \end{array} x > 0 \end{array}$ 若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} < x_{2})$ ，则 $x_{2} - x_{1}$ 的取值范围为( )

A、 $[e, + \infty)$ B、 $[4 - 2 l n 2, + \infty)$ C、 $[4 - 2 l n 2, e]$ D、 $[e - 1, + \infty)$

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8. 在三棱锥 $D - A B C$ 中，底面是边长为2的正三角形，若AD为三棱锥 $D - A B C$ 的外接球直径，且AC与BD所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，则该外接球的表面积为( )

A、 $\frac{19}{3} π$ B、 $\frac{28}{3} π$ C、 $7 π$ D、 $16 π$

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二、多项选择题

9. 关于函数 $f (x) = 2 s i n x \cdot c o s x + 2 \sqrt{3} c o s^{2} x$ ，下列说法正确的是( )

A、最小正周期为 $2 π$ B、关于点 $(- \frac{π}{6}, \sqrt{3})$ 中心对称 C、最大值为 $\sqrt{3} + 2$ D、在区间 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上单调递减

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10. 设定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $\forall x \in R$ ，均有 $x f^{'} (x) = (x + 1) f (x)$ ，则( )

A、 $f (0) = 0$ B、 $f^{″} (- 2) = 0$ ( $f^{″} (x)$ 为 $f (x)$ 的二阶导数) C、 $f (2) < 2 f (1)$ D、 $x = - 1$ 是函数 $f (x)$ 的极大值点

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，的棱长为1，点P是正方形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 上的一个动点，初始位置位于点 $A_{1}$ 处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，向对角顶点移动的概率为 $\frac{1}{2}$ ，如当点P在点 $A_{1}$ 处时，向点 $B_{1}$ ， $D_{1}$ 移动的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，向点 $C_{1}$ 移动的概率为 $\frac{1}{2}$ ，则( )

A、移动两次后，“ $| P C | = \sqrt{3}$ ”的概率为 $\frac{3}{8}$ B、对任意 $n \in N^{*}$ ，移动n次后，“ $P A / /$ 平面 $B D C_{1}$ ”的概率都小于 $\frac{1}{3}$ C、对任意 $n \in N^{*}$ ，移动n次后，“ $P C ⊥$ 平面 $B D C_{1}$ ”的概率都小于 $\frac{1}{2}$ D、对任意 $n \in N^{*}$ ，移动n次后，四面体 $P - B D C_{1}$ 体积V的数学期望 $E (V) < \frac{1}{5}$ (注：当点P在平面 $B D C_{1}$ 上时，四面体 $P - B D C_{1}$ 体积为0)

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三、填空题

12. 已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为.

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13. 某中学的A ， B两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有种不同的排课方式.(用数字作答)

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14. 设正n边形的边长为1，顶点依次为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{n}$ ，若存在点P满足 $\vec{P A_{1}} \cdot \vec{P A_{2}} = 0$ ，且 $| \sum_{k = 1}^{n} \vec{P A_{k}} | = 1$ ，则n的最大值为.(参考数据： $t a n 36 ° \approx 0.73$ )

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四、解答题

15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 2 a_{n} + n^{2} - 1$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD ， $P A = P D = \sqrt{5}$ ，点E是线段AD的中点， $\vec{C M} = 2 \vec{M P}$ .

(1)、证明： $P E / /$ 平面BDM；

(2)、求平面AMB与平面BDM的夹角.

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17. 某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
$[20, 76)$
$[76, 82)$
$[82, 88)$
$[88, 94)$
$[94, 100]$
元件数(件)
12
18
36
30
4

(1)、现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；

(2)、关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望 $E (X) = μ$ ，方差 $D (X) = σ^{2}$ ，则对任意正数 $ε$ ，均有 $P (| x - μ | \geq ε) \leq \frac{σ^{2}}{ε^{2}}$ 成立.
(i)若 $X ~ B (100, \frac{1}{2})$ ，证明： $P (0 \leq X \leq 25) \leq \frac{1}{50}$ ；
(ii)利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信?(注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件)

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18. 已知椭圆 $L : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点 $A (- 3, 0)$ 和下顶点B ，焦距为 $4 \sqrt{2}$ ，直线l交椭圆L于C ， D(不同于椭圆的顶点)两点，直线AD交y轴于M ，直线BC交x轴于N ，且直线MN交l于P.

(1)、求椭圆L的标准方程；

(2)、若直线AD ， BC的斜率相等，证明：点P在一条定直线上运动.

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19. ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x)$ ， $g^{'} (x)$ ，且 $\underset{x \to a}{l i m} f (x) = \underset{x \to a}{l i m} g (x) = 0$ ，则
$\underset{x \to a}{l i m} \frac{f (x)}{g (x)} = \underset{x \to a}{l i m} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$ .
②设 $a > 0$ ， k是大于1的正整数，若函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in [0, a]$ ，均有 $f (x) \geq f (\frac{x}{k})$ 成立，且 $\underset{x \to 0}{l i m} f (x) = 0$ ，则称函数 $f (x)$ 为区间 $[0, a]$ 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：

(1)、试判断 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 是否为区间 $[0, 3]$ 上的2阶无穷递降函数；

(2)、计算： $\underset{x \to 0}{l i m} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$ ；

(3)、证明： ${(\frac{s i n x}{x - π})}^{3} < c o s x$ ， $x \in (π, \frac{3}{2} π)$ .

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测试指标	$[20, 76)$	$[76, 82)$	$[82, 88)$	$[88, 94)$	$[94, 100]$
元件数(件)	12	18	36	30	4