辽宁省协作校2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-22 类型：高考模拟

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {1, 2, 3, 4}$ ，且 $A ∩ B = A$ ，则集合B可以是( )

A、 ${1, 2, 3}$ B、 ${x | x^{2} > 1}$ C、 ${x | l o g_{2} x > 0}$ D、 ${x | 2^{x} > 1}$

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2. 已知 $a ， b \in R$ ， $a - 3 i = (b - i) i$ （i为虚数单位），则（）

A、 $a = 1$ ， $b = - 3$ B、 $a = - 1$ ， $b = 3$ C、 $a = - 1$ ， $b = - 3$ D、 $a = 1$ ， $b = 3$

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3. 已知 $a, b \in R$ ．则“ $a > 0$ 且 $b > 0$ ”是“ $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 的下焦点和上焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，直线 $y = x + m$ 与C交于A ， B两点，若 $△ F_{2} A B$ 面积是 $△ F_{1} A B$ 面积的4倍，则 $m =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $－ \frac{10}{3}$

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5. 猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有 $\frac{1}{2}$ 的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（）

A、 $\frac{1}{24}$ B、 $\frac{1}{18}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 若函数 $f (x)$ 使得数列 $a_{n} = f (n)$ ， $n \in N^{*}$ 为递减数列，则称函数 $f (x)$ 为“数列保减函数”，已知函数 $f (x) = l n x - a x$ 为“数列保减函数”，则a的取值范围（）

A、 $[l n 3, + \infty)$ B、 $(l n 2, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(0, + ∞)$

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7. 若 $t a n 2 α = \frac{4}{3}$ ，则 $\frac{2 + 2 c o s 2 α - 3 s i n 2 α}{1 - c o s 2 α} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ 或2 B、 $- 2$ 或 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $- \frac{1}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 16) - x - 2$ ，若 $f (a - 1) \geq f (2 a + 1)$ 成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 2]$ B、 $(- \infty, - 2] ∪ [0, + \infty)$ C、 $[- 2, \frac{4}{3}]$ D、 $(- \infty, - 2] ∪ [\frac{4}{3}, + \infty)$

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二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9. 下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（）

A、样本乙的极差一定大于样本甲的极差 B、样本乙的众数一定大于样本甲的众数 C、样本甲的方差一定大于样本乙的方差 D、样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上为减函数的充分条件是（）

A、 $φ = - \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{6} ， 0)$ 对称

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11. 已知不相等的实数 $a$ ， $b$ 满足 $a b > 0$ ，则下列四个数 $a$ ， $b$ ， $\frac{a + b}{2}$ ， $\sqrt{a b}$ 经过适当排序后（）

A、可能是等差数列 B、不可能是等差数列 C、可能是等比数列 D、不可能是等比数列

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12. 设直线系 $M : x c o s^{m} θ + y s i n^{n} θ = 1$ （其中0，m ， n均为参数， $0 \leq θ \leq 2 π$ ， $m, n \in {1, 2}$ ），则下列命题中是真命题的是（）

A、当 $m = 1$ ， $n = 1$ 时，存在一个圆与直线系M中所有直线都相切 B、存在m ， n ，使直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限 C、当 $m = n$ 时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1，最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、当 $m = 2$ ， $n = 1$ 时，若存在一点 $A (a ， 0)$ ，使其到直线系M中所有直线的距离不小于1，则 $a \leq 0$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 抛物线 $y^{2} = a x (a \neq 0)$ 上的一点 $P (- 1, 4)$ 到其准线的距离为．

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14. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值8，则 $f (1)$ 等于．

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15. 杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10，高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为8和10，高为2．则该组合体的体积为．

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16. 已知 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 是空间单位向量， $⟨ \vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}} ⟩ = 105 °$ ，若空间向量 $\vec{a}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{e_{1}} = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{e_{2}} = \sqrt{2}$ ，且对于任意 $x ， y \in R$ ，都有 $| \vec{a} - (x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}) | \geq | \vec{a} - (x_{0} \vec{e_{1}} + y_{0} \vec{e_{2}}) | = 1$ （其中 $x_{0} ， y_{0} \in R$ ），则 $| \vec{a} | =$ ．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，满足 $b (b + a) = c^{2}$ .

(1)、求证： $C = 2 B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $2 s i n C + c o s B - s i n B$ 的最大值．

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18. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，满足 $S_{n} = \frac{1}{2} a_{n}^{2} + \frac{1}{2} a_{n} - 1 (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 成等比数列，当 $n \geq 5$ 时， $a_{n} > 0$ ．

(1)、求证：当 $n \geq 5$ 时， ${a_{n}}$ 成等差数列；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19. 某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况，对某班级35名同学的数学成绩和语文成绩进行了统计并整理成如下2×2列联表(单位：人)：

数学成绩良好
数学成绩不够良好
语文成绩良好
12
10
语文成绩不够良好
8
5
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

(1)、能否有95%的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关？(计算结果精确到0.001)

(2)、从该班的学生中任选一人，A表示事件“选到的学生数学成绩良好”，B表示事件“选到的学生语文成绩良好”， $\frac{P (A | B)}{P (\bar{A} | B)}$ 与 $\frac{P (A | \bar{B})}{P (\bar{A} | \bar{B})}$ 的比值是文、理科思维差异化的一项度量指标，记该指标为R ．
(i)证明： $R = \frac{P (B | A)}{P (\bar{B} | A)} \cdot \frac{P (\bar{B} | \bar{A})}{P (B | \bar{A})}$ ；
(ii)利用该表中数据，给出 $P (B | A)$ ， $P (B | \bar{A})$ 的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧面 $P A D ⊥$ 侧面 $P A B$ ， $F$ 为 $B D$ 中点， $E$ 是 $P A$ 上的点， $P A = P D = 2$ ， $P A ⊥ P D$ ．

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若二面角 $E - D F - A$ 的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{11}}{11}$ ，求 $E$ 到平面 $P B C$ 的距离

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21. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 和椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，椭圆 $C_{2}$ 的四个顶点为 $A_{1} ， A_{2} ， B_{1} ， B_{2}$ ，如图．

(1)、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 与平行四边形 $A_{1} B_{2} A_{2} B_{1}$ 内切，求 $a^{2} + 4 b^{2}$ 的最小值；

(2)、已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合．当a ， b满足什么条件时，对 $C_{2}$ 上任意一点P ，均存在以P为顶点与 $C_{1}$ 外切，与 $C_{2}$ 内接的平行四边形？并证明你的结论．

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22. 已知函数 $f (x) = b l n x$ ， $g (x) = x^{2} + a x$ （其中a ， b为实数，且 $b > 0$ ）

(1)、当 $a = - 1$ 时， $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求b；

(2)、当 $b = 2$ 时，函数 $G (x) = f (x) - g (x)$ 有两个不同的零点，求a的最大整数值．（参考数据： $l n \frac{5}{4} \approx 0.223$ ）

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	数学成绩良好	数学成绩不够良好
语文成绩良好	12	10
语文成绩不够良好	8	5

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828