备考2024年中考数学计算能力训练13 锐角三角形

试卷更新日期：2024-04-21 类型：二轮复习

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一、选择题

1. $t a n 45 °$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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2. $\tan 30 °$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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3. $s i n 45^{\circ} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的值等于（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. $2 s i n 60 °$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. $2 s i n 45 °$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，若∠B=90°， $s i n A = \frac{1}{2}$ 则 $∠ C$ 的度数是（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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7. 下列各式中不正确的是（）．

A、 $s i n^{2} 60 ° + c o s^{2} 60 ° = 1$ B、 $s i n 30 ° + c o s 30 ° = 1$ C、 $s i n 35 ° = c o s 55 °$ D、 $c o s 45 ° = s i n 45 °$

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8. 已知α为锐角，且 $s i n (α - 1 0^{°}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则α等于（　　）

A、70° B、60° C、40° D、30°

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9. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B$ 为锐角，满足 $| t a n B - \frac{\sqrt{3}}{3} | + {(2 s i n A - \sqrt{2})}^{2} = 0$ ，则 $∠ C$ 等于（　　）

A、 $105 °$ B、 $75 °$ C、 $60 °$ D、 $45 °$

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10. 在锐角 $△ A B C$ 中， $(t a n C - \sqrt{3})^{2} + |\sqrt{2} - 2 \sin B|$ =0，则 $∠ A =$ （）

A、 $3 0^{°}$ B、 $4 5^{°}$ C、 $6 0^{°}$ D、 $7 5^{°}$

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11. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 5 \sqrt{3}$ ， $A B = 10$ ，则 $∠ A$ 为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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12. 在锐角△ABC中，若（sinA﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）²+| $\frac{1}{2}$ ﹣cosB|＝0，则∠C等于（　　）

A、60° B、45° C、75° D、105°

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二、填空题

13. 计算： $(3 - π)^{0} + 2 s i n 30 ° =$ ．

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14. 有下列几个数： $- 5 tan 45 °$ ， 0， $\sqrt{2} sin 45 °$ ， 5，从这四个数中随机抽取一个数，恰好是一元二次方程 $x^{2} - 25 = 0$ 的根的概率是．

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15. $2 t a n 45^{\circ} - (\sqrt{2} - π)^{0}$ ＝．

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16. 在 $△ A B C$ 中， ${(\sqrt{3} t a n A - 3)}^{2} + | 2 c o s B - 1 | = 0$ ，则 $△ A B C$ 为三角形．

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17. 计算： $s i n 3 0^{°} \cdot t a n 3 0^{°} + c o s 6 0^{°} \cdot t a n 6 0^{°} =$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，若 $∠ A$ ， $∠ B$ 满足 $| c o s A - \frac{\sqrt{3}}{2} | + (1 - t a n B)^{2} = 0$ ，则 $∠ C =$ ．

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三、计算题

19. 计算： ${(π + 2023)}^{0} + 2 s i n 45 ° - {(\frac{1}{2})}^{- 1} + | \sqrt{2} - 2 |$ ．

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20. 计算： $\sqrt{9} - 2 c o s 3 0^{°} - {(\frac{1}{2})}^{- 1} + (π - 3.14)^{0} + | 1 - \sqrt{3} |$

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21. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(π - 2024)}^{0} + 2 \sqrt{3} \cdot c o s 60 ° - \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ．

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22. 计算： $3 s i n 45 ° - (- 2024)^{0} + | - \sqrt{2} |$ ．

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23. 计算： $\sqrt{2} s i n 45 ° + 202 3^{0} \times t a n 60 ° - 2 c o s 60 °$ ．

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24. 计算： $4 \cdot s i n 60 ° - \sqrt{6} \div \sqrt{\frac{1}{2}} + (3 + \sqrt{2})^{2}$ ．

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25. 求 ${tan}^{2} 60^{\circ} + 4 sin 30^{\circ} cos 45^{\circ}$ 的值.

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26. 计算：

(1)、sin²30°＋2sin60°＋tan45°＋cos²30°；

(2)、 $(π - 3.14)^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 1} + | 3 - \sqrt{8} | - 4 c o s 4 5^{°}$ ．

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27. 计算：

(1)、2cos60°+|1-2sin45°|+（ $\frac{1}{2}$ ）⁰ ．

(2)、 $\sqrt{1 - 2 t a n 60 ° + t a n^{2} 60 °}$ -tan60°．

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四、解答题

28. 先化简，再求值： $(1 - \frac{4}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ ，其中 $x = 2 s i n 60 ° - t a n 45 °$ ．

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29. 先化简，再求代数式 $(1 - \frac{3}{x + 2}) \div \frac{x^{2} - 1}{x + 2}$ 的值，其中 $x = 4 s i n 45 ° - 2 c o s 60 °$ .

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30. 先化简，再求值： $\frac{a}{a^{2} + 2 a + 1} \div (1 - \frac{1}{a + 1})$ ，其中a＝tan30°-1．

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31. 先化简，再求代数式 $(\frac{1}{x - 2} - \frac{3}{x^{2} - 4}) \div \frac{1}{x - 2}$ 的值，其中x=2cos60°-2tan45°

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32. 先化简，再求值： $\frac{a - 4}{a} \div (\frac{a + 2}{a^{2} - 2 a} - \frac{a - 1}{a^{2} - 4 a + 4})$ ，其中 $a$ 满足 $a^{2} - {(\frac{1}{4})}^{- 1} \cdot a + 6 c o s 60 ° = 0$ ．

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33. 先化简，再求值： $\frac{x}{x^{2} - 1} \div (1 - \frac{1}{x + 1})$ ，其中 $x = \sqrt{2} s i n 45 ° + 2 t a n 60 °$ .

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34.

(1)、根据个人爱好，从 $s i n 30 °$ ， $c o s 45 °$ 和 $t a n 60 °$ 中任取两个，然后求选取的两个三角函数的平方和；

(2)、采用配方法或公式法解一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ ．

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35. 对于钝角 $α$ ，定义它的三角函数值如下：
$s i n α = s i n (180^{\circ} - α)$ ， $c o s α = - c o s (180^{\circ} - α) .$

(1)、求 $s i n 120^{\circ}$ ， $c o s 120^{\circ}$ ， $s i n 150^{\circ}$ 的值 $；$

(2)、若一个三角形的三个内角的比是 $1 ： 1 ： 4$ ， $A$ ， $B$ 是这个三角形的两个顶点， $s i n A$ ， $c o s B$ 是方程 $4 x^{2} - m x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，求 $m$ 的值及 $∠ A$ 和 $∠ B$ 的大小．

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36. 阅读下列材料，并完成相应的任务.
我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：
如图(1)所示.sin α= $\frac{B C}{A B}$ ， cos α= $\frac{A C}{A B}$ ，
tan α= $\frac{B C}{A C}$ .
一般地，当α，β为任意角时，sin(α+β)与sin(α-β)的值可以用下面的公式求得
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β；sin(α-β)=sin α
cos β-cos αsin β.
例如：sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°
sin 30°= $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .
任务：

(1)、计算：sin 75°=；

(2)、如图(2)所示，在△ABC中，∠B=15°，∠C=45°，AC=2 $\sqrt{3}$ -2，求AB和BC的长.

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