备考2024年中考数学计算能力训练12 求方差

试卷更新日期：2024-04-21 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 分析一组数据时，圆圆列出了方差的计算公式S²＝ $\frac{{(1 - \bar{x})}^{2} + {(2 - \bar{x})}^{2} + {(3 - \bar{x})}^{2} + {(4 - \bar{x})}^{2}}{n}$ 由公式提供的信息，可得出n的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12.下列关于这组数据描述正确的是（）

A、众数为10 B、平均数为10 C、方差为2 D、中位数为9

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3. 已知一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 为不全相等的 $n$ 个正数，其中 $n ⩾ 4$ .若把数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 都扩大 $m$ 倍再减去 $l$ （其中 $m$ 是实数， $l \neq 0$ ），生成一组新的数据 $m x_{1} - l, m x_{2} - l, \cdot \cdot \cdot, m x_{n} - l$ ，则这组新数据与原数据相比较，（）

A、平均数相等 B、中位数相等 C、方差相等 D、标准差可能相等

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4. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内，校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼.小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（分），并制作了如图所示的统计图.根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（）

A、平均数为70分钟 B、众数为67分钟 C、中位数为67分钟 D、方差为0

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5. 某班共有 $48$ 名学生，体育课上老师统计全班一分钟仰卧起坐的个数，由于小亮没有参加此次集体测试，因此计算其他 $47$ 名学生一分钟仰卧起坐的平均个数为 $30$ 个，方差为 $15 .$ 后来小亮进行了补测，成绩为 $30$ 个，关于该班 $48$ 名学生的一分钟仰卧起坐个数，下列说法正确的是（）

A、平均个数不变，方差不变 B、平均个数变小，方差不变 C、平均个数变大，方差变大 D、平均个数不变，方差变小

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6. 如图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图 $.$ 比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（）

A、甲同学平均分高，成绩波动较小 B、甲同学平均分高，成绩波动较大
C、乙同学平均分高，成绩波动较小 D、乙同学平均分高，成绩波动较大

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7. 某校足球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据的说法正确的是（）

A、平均数比 $16$ 大 B、中位数比众数小
C、若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大
D、若年龄最大的选手离队，则方差将变小

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8. 下表是甲、乙两名同学八次射击测试成绩，设两组数据的平均数分别为

\bar{x_{甲}}

，

\bar{x_{乙}}

，方差分别为

s_{甲}^{2}

，

s_{乙}^{2}

，则下列说法正确的是（）

甲	$7$	$8$	$7$	$4$	$9$	$10$	$7$	$4$
乙	$6$	$7$	$8$	$7$	$8$	$6$	$7$	$7$

A、

\bar{x_{甲}} = \bar{x_{乙}}

，

s_{甲}^{2} < s_{乙}^{2}

B、

\bar{x_{甲}} = \bar{x_{乙}}

，

s_{甲}^{2} > s_{乙}^{2}

C、

\bar{x_{甲}} > \bar{x_{乙}}

，

s_{甲}^{2} < s_{乙}^{2}

D、

\bar{x_{甲}} < \bar{x_{乙}}

，

s_{甲}^{2} > s_{乙}^{2}

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9. 如果一组数据x₁ ， x₂ ， …，x_n的方差是4，则另一组数据x₁+3，x₂+3，…，x_n+3的方差是（　　）

A、4 B、7 C、8 D、19

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二、填空题

10. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多.为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率(单位：μmol·m^-2·s^-1)，结果统计如下：

品种

第一

株

第二

株

第三

株

第四

株

第五

株

平均

数

甲

乙

则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是(填“甲”或“乙”).

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11. 若一组数据 1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的方差是．

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12. 一组数据的方差可以用式子 $s^{2} = \frac{1}{n} [{(2 - \bar{x})}^{2} + 3 {(3 - \bar{x})}^{2} + {(5 - \bar{x})}^{2} + 2 {(6 - \bar{x})}^{2} + 2 {(8 - \bar{x})}^{2}]$ 表示，则 $n =$ ；这组数据的平均数是.

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13. 数据 $104$ ， $101$ ， $100$ ， $103$ ， $102$ 的方差是．

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14. 有一组数据：5，2， $a$ ， 5，2，6，它们的中位数是4.5，则这组数据的方差是.

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15. 若一组数据 $x_{1} + 1$ ， $x_{2} + 1$ ， $\dots$ ， $x_{n} + 1$ 的平均数为 $17$ ，方差为 $2$ ，则另一组数据 $x_{1} + 2$ ， $x_{2} + 2$ ， $\dots$ ， $x_{n} + 2$ 的平均数是，方差是．

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三、解答题

16. 某校要从甲、乙两名同学中挑选一人参加创新能力大赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表，请根据表中数据解答下列问题：

	第 1 次	第 2 次	第 3 次	第 4 次	第 5 次	平均分	众数	中位数	方差
甲	60 分	75 分	100 分	90 分	75 分	80 分	75 分	75 分	190
乙	70 分	90 分	100 分	80 分	80 分	____	80 分	80 分	____

(1)、把表格补充完整：

(2)、在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是多少；若将 80 分以上（含 80 分）的成绩视为优秀，则甲、乙两名同学在这五次测试中的优秀率分别是多少；

(3)、历届比赛表明，成绩达到80分以上（含 80分）就很可能获奖，成绩达到 90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为选谁参加比赛比较合适？说明你的理由．

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17. 某厂生产A ， B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整．营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如图所示的统计表及不完整折线图．
A ， B产品单价变化统计表

第一次
第二次
第三次
A产品量的（元/件）
6
5.2
6.5
B产品单价（元/件）
3.5
4
3
并求得了A产品三次单价的平均数和方差： $\bar{x_{A}} = 5.9$ ；
$S_{A}^{2} = \frac{1}{3} [{(6 - 5.9)}^{2} + {(5.2 - 5.9)}^{2} + {(6.5 - 5.9)}^{2}] = \frac{43}{150}$

(1)、补全图中B产品单价变化的折线图， B产品的第三次的单价比上一次的单价降低了%；

(2)、求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；

(3)、该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6.5元/件，B产品的单价比3元/件上调m%， $m > 0$ ，使得A产品这四次单价的中位数比B产品四次单价中位数的2倍少1，求m的值．

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18. 某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整．营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如表统计表及不完整的折线图．
A，B产品单价变化统计表

第一次
第二次
第三次
A产品单价（元/件）
6
5.2
6.5
B产品单价（元/件）
3.5
4
3
并求得了A产品三次单价的平均数和方差：
$\bar{x_{A}} = 5.9$ ， $s_{A}^{2} = \frac{1}{3} [(6 - 5.9)^{2} + (5.2 - 5.9)^{2} + (6.5 - 5.9)^{2}] = \frac{43}{150}$

(1)、补全如图中B产品单价变化的折线图．B产品第三次的单价比上一次的单价降低了 ▲ %

(2)、求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；

(3)、该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6.5元/件，B产品的单价比3元/件上调 $m % (m > 0)$ ，使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1，求m的值．

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19. 随着人工智能技术的进步，在日常生活中越来越多的运用了人工智能技术来处理事情．某县举办了“人工智能知识大赛”活动，某校经过层层选拔，王同学和李同学脱颖而出，在五次选拔测试中他俩的成绩如下表：

(1)、请你分别计算出王同学成绩的平均数与中位数、李同学成绩的中位数；

(2)、若学校选择成绩稳定的同学代表学校参加决赛．已知通过计算李同学成绩的方差为104，学校应选择谁代表学校参加决赛？

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20. 张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组 $.$ 在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：

平均数
中位数
方差
张明

$13.3$
$0.004$
李亮
$13.3$

(1)、求张明成绩的平均数和李亮成绩的中位数；

(2)、现在从张明和李亮中选择一名成绩比较稳定的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．

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21. $2022$ 年 $9$ 月开始，劳动课将正式成为中小学的一门独立课程，安庆市某中学提前尝试建立劳动教育实践基地，将劳动教育纳入日常教育教学中 $.$ 某日，学校从七、八年级班级管理的花圃中，分别随机抽取了 $20$ 个花圃对管理情况进行了评分 $($ 满分 $100$ 分，数据分组为 $A$ 组， $90 < x \leq 100$ ， $B$ 组： $80 < x \leq 90$ ， $C$ 组： $70 < x \leq 80$ ， $D$ 组： $x \leq 70$ ， $x$ 表示评分的分数 $)$ ，现将评分情况绘制成了不完整的统计图：

(1)、补全图 $①$ 中的条形统计图；图 $②$ 中 $C$ 组所对应的圆心角为     ▲    ；

(2)、若八年级 $B$ 组得分情况为 $89$ ， $88$ ， $87$ ， $87$ ， $86$ ， $85$ ．
$①$ 八年级 $B$ 组得分的方差为     ▲    ；
$②$ 八年级 $20$ 个花圃得分的中位数为     ▲    分；

(3)、若 $90$ 分以上为“五星花圃”，七、八年级各有 $200$ 个花圃，估计七、八年级的花圃中“五星花圃”共多少个？

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22. 甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：

	平均成绩/环	中位数/环	众数/环	方差
甲	a	7	7	1.2
乙	7	b	8	c

(1)、

a =

，

b =

，

c =

(2)、填空：（填“甲”或“乙”）.

从中位数的角度来比较，成绩较好的是；从众数的角度来比较，成绩较好的是；成绩相对较稳定的是.

(3)、从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？

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四、综合题

23. 某服装店的某件衣服最近销售火爆．现有

A 、 B

两家供应商到服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家的服装．检查人员从两家提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：

%

），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下：

Ⅰ． $A$ 供应商供应材料的纯度（单位： $%$ ）如下：

$A$	72	73	74	75	76	78	79
频数	1	1	5	3	3	1	1

Ⅱ． $B$ 供应商供应材料的纯度（单位： $%$ ）如下：

72 75 72 75 78 77 73 75 76 77 71 78 79 72 75

Ⅲ． $A 、 B$ 两供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：

	平均数	中位数	众数	方差
$A$	75	75	74	3.07
$B$	$a$	75	$b$	$c$

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表格中的

a =

，

b =

，

c =

；

(2)、你认为服装店应选择哪个供应商供应服装？为什么？

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24. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：

161，162，162，164，165，165，165，166，

166，167，168，168，170，172，172，175

b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：

平均数

中位数

众数

166.75

m

n

(1)、写出表中m，n的值；

(2)、对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高
162
165
165
166
166
乙组学生的身高
161
162
164
165
175

(3)、该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为 $\frac{32}{9}$ ．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 $\frac{32}{9}$ ，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为和．

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25. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．

【收集数据】

甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89

乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81

【整理数据】

班级	$70 \leq x < 80$	$80 \leq x < 90$	$90 \leq x < 100$
甲班	6	3	1
乙班	4	5	1

【分析数据】

班级	平均数	中位数	众数	方差
甲班	80	a	b	51.4
乙班	80	80	80，85	c

【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：

(1)、填空：

a =

，

b =

，

c =

；

(2)、请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由：

(3)、甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？

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26. 门头沟区深挖区域绿水青山教育资源，以区域山水和历史人文资源为素材，开展跨学科实践活动．某校为调研学生的学习成效．举办“跨学科综合实践活动”成果作品比赛．十名评委对每组同学的参赛作品进行现场打分．对参加比赛的甲，乙，丙三组同学参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲．乙两组同学参赛作品得分的折线图：

b．丙组同学参赛作品得分：
9　　4　　9　　9　　10　　9　　10　　8　　8　　10
c．甲，乙，丙三组同学参赛作品得分的平均数、众数、中位数如下：

平均数
众数
中位数
甲组
8.6
9
9
乙组
8.6
$a$
8.5
丙组
8.6
9
$b$
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表中 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、在参加比赛的小组中，如果某组同学参赛作品得分的 $10$ 个数据的方差越小，则认为评委对该组同学参赛作品的评价越一致．据此推断：在甲，乙两组同学中，评委对组同学的参赛作品评价更一致（填“甲”或“乙”）

(3)、如果每组同学的最后得分为去掉十名评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该组同学的参赛作品越优秀．据此推断：在甲，乙，丙三组同学中，参赛作品最优秀的是组同学（填“甲”或“乙”或“丙”）．

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27. 为了了解甲、乙、丙三种型号的扫地机器人的扫地质量，工作人员从某月生产的甲、乙、丙三种型号扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘指数的数据，并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
ⅰ.甲、乙两种型号扫地机器人除尘指数的折线图：

ⅱ.丙型号扫地机器人的除尘指数数据：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10.

ⅲ．甲、乙、丙三种型号机器人除尘指数的平均数：

扫地机器人

甲

乙

丙

除尘指数平均数

8.6

8.6

m

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、求表中m的值；

(2)、在抽取的扫地机器人中，如果除尘指数的10个数据的方差越小，则认为该型号的扫地机器人性能更稳定．据此推断：在甲、乙两种型号扫地机器人中，型扫地机器人的性能稳定（填“甲”或“乙”）；

(3)、在抽取的扫地机器人中，如果把10个除尘指数去掉一个最高值和一个最低值之后的平均值作为性能参考，平均值越高，则认为该型号扫地机器人性能表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三种型号的扫地机器人中，表现最优秀的是（填“甲”、“乙”或“丙”）．

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	第一次	第二次	第三次
A产品量的（元/件）	6	5.2	6.5
B产品单价（元/件）	3.5	4	3

甲组学生的身高	162	165	165	166	166
乙组学生的身高	161	162	164	165	175

	平均数	中位数	方差
张明		$13.3$	$0.004$
李亮	$13.3$

	平均数	众数	中位数
甲组	8.6	9	9
乙组	8.6	$a$	8.5
丙组	8.6	9	$b$

扫地机器人	甲	乙	丙
除尘指数平均数	8.6	8.6	m