备考2024年中考数学计算能力训练10 解一元二次方程

试卷更新日期：2024-04-21 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 把方程 x²+6x -5 = 0化成 (x+m)²=n的形式，则 m+n的值为（）

A、17 B、14 C、11 D、7

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2. 将方程 $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ 配方后，原方程可变形为（）

A、 $(x - 3)^{2} = 8$ B、 $(x - 3)^{2} = - 10$ C、 $(x + 3)^{2} = - 10$ D、 $(x + 3)^{2} = 8$

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3. 若关于x的一元二次方程x²+(k+3)x+2=0的一个根是-2，则另一个根是（）

A、2 B、1 C、-1 D、0

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4. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 m - 1 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $(x_{1} + 2) (x_{2} + 2) - 2 x_{1} x_{2} = 17$ ，则 $m =$ （）

A、2或6 B、2或8 C、2 D、6

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5. 已知x=1是一元二次方程（m-2）x²+4x-m²=0的一个根，则m的值为（）．

A、-1或2 B、-1 C、2 D、0

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6. 关于 x 的方程 x（x-1）=3（x-1），下列解法完全正确的是（）

甲	乙	丙	丁
两边同时除以（x-1）得到x=3．	移项得x（x-1）+3（x-1）=0， ∴（x-1）（x+3）=0， ∴x-1=0或x+3=0， ∴x₁=1，x₂=-3．	整理得x²-4x=-3， ∵a=1，b=-4，c=-3， ∴Δ=b²-4ac=28， ∴x= $\frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$ ， ∴x₁= $2 + \sqrt{7}$ ， x₂= $2 - \sqrt{7}$ ．	整理得x²-4x=-3，配方得x²-4x+4=1， ∴（x-2）²=1， ∴x-2=±1， ∴x₁=1，x₂=3．

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 对于实数a ， b定义运算“※”为 $a \times b = a + b^{2}$ ，例如 $3 ※ 2 = 3 + 2^{2} = 7$ ，则关于x的方程 $x ※ (x + 1) = 5$ 的解是（）

A、 $x = - 4$ B、 $x = - 1$ C、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 4$ D、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 4$

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8. 已知多项式 $M ═ x^{2} - 3 x - 2$ ， $N = x^{2} - a x + 3$ 下列说法正确的个数为（）
$①$ 若 $M = 0$ ，则代数式 $\frac{13 x}{x^{2} - 3 x - 1}$ 的值为 $\frac{26}{3}$ ； $②$ 当 $a = - 3$ 时，代数式 $M - N$ 的最小值为 $- 14$ ； $③$ 当 $a = 3$ 时，若 $| M - 2 N + 2 | + | M - 2 N + 15 | = 13$ ，则 $x$ 的取值范围是 $- \frac{7}{3} < x < 2$ ．

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $2$ 个 D、 $3$ 个

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9. 对于两个不相等的实数 $a ， b$ ，我们规定符号 $max {a ， b}$ 表示 $a ， b$ 中较大的数，如 $\max {2 ， 4} = 4$ ，按这个规定，方程 $\max {x ， - x} = \frac{2 x + 1}{x}$ 的解为（）

A、 $1 - \sqrt{2}$ B、 $2 - \sqrt{2}$ C、 $1 - \sqrt{2} 或 1 + \sqrt{2}$ D、 $1 + \sqrt{2}$ 或-1

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二、填空题

10. 若 $(x^{2} + y^{2} + 3) (x^{2} + y^{2} - 3) = 27$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值为.

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11. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (3 k + 1) x + 2 k^{2} + 2 k = 0$ ．若等腰三角形 $A B C$ 的一边长 $a = 6 c m$ ，另两边长 $b$ ， $c$ 恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 $c m$ ．

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12. 对于两个不相等的实数 $a$ ， $b$ ，我们规定符号 $m a x {a ， b}$ 表示 $a$ ， $b$ 中较大的数，如： $m a x {- 1 ， 3} = 3$ ．

(1)、方程 $x^{2} + 2 x = m a x {0 ， - 1}$ 的解为；

(2)、方程 $m a x {2 x - 1 ， x} = x^{2}$ 的解为．

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13. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为 a*b＝a（a﹣b），根据这个规则，方程（x+2）*5＝0 的解为．

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14. 已知关于x的方程a（x+m）²+b＝0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x₁＝3和x₂＝7，则方程a(x+m+2)²⁺b=0的解是．

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15. 阅读理解：对于 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n$ 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
$x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = x^{3} - n^{2} x - x + n = x (x^{2} - n^{2}) - (x - n) = x (x - n) (x + n) - (x - n) = (x - n) (x^{2} + n x - 1)$ 理解运用：如果 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = 0$ ，那么 $(x - n) (x^{2} + n x - 1) = 0$ ，

即有 $x - n = 0$ 或 $x^{2} + n x - 1 = 0$ ，

因此，方程 $x - n = 0$ 和 $x^{2} + n x - 1 = 0$ 的所有解就是方程 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = 0$ 的解.

解决问题：求方程 $x^{3} - 5 x + 2 = 0$ 的解为.

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16. 如果关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有两个实数根x₁ ， x₂ ，且满足数轴上x₁ ， x₂所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有．（填序号）
①方程x²﹣4x＝0是关于2的等距方程；

②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；

③若方程ax²＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；

④当两根满足x₁＝3x₂ ，关于x的方程px²﹣x $+ \frac{3}{4} =$ 0是关于2的等距方程．

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三、计算题

17. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 49 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} + 4 x - 4 = 0$ ；

(3)、 ${(x - 1)}^{2} = 2 (x - 1)$ ；

(4)、 ${(2 x - 9)}^{2} = {(x - 6)}^{2}$ ．

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18. 用适当的方法解方程.

(1)、 $(x + 1) (x + 3) = 15$

(2)、 $(y - 3)^{2} + 3 (y - 3) + 2 = 0$ ．

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19. 按要求解下列方程：

(1)、 ${(3 x - 7)}^{2} = 2 (3 x - 7)$ （因式分解法）；

(2)、 $x^{2} + \sqrt{5} x - 11 = 0$ （公式法）．

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20. 用适当的方法解下列方程；

(1)、 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ ；

(2)、 $3 x (x + 3) = 2 (x + 3)$ ．

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21. 已知实数a满足 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} - 2 a - \frac{2}{a} - 1 = 0$ ，求 $a + \frac{1}{a}$ 的值.

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四、解答题

22. 已知关于x的一元二次方程x²+（2a+1）x+a²＝0．

(1)、若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；

(2)、若方程有两个相等的实数根，求a的值，并求出这两个相等的实数根．

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23. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + k x - 3 = 0$ ．

(1)、当 $k = 2$ 时，求一元二次方程的根；

(2)、求证：无论k取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

(3)、已知 $x = 3$ 是方程 $x^{2} + k x - 3$ 的一个根，求方程的另一个根．

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24. 下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程： $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ ．
解：第一步 $x^{2} - \frac{3}{2} x = \frac{5}{2}$
$x^{2} - \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{5}{2} + {(\frac{3}{4})}^{2}$ ，第二步
${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{49}{16}$ ，第三步
$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{7}{4}$ ，第四步
$x - \frac{3}{4} = - \frac{7}{4}$ 或 $x - \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ ，第五步
$x_{1} = - 1 ， x = \frac{5}{2}$ ．第六步

(1)、任务一：小颖解方程的方法是（填字母）；
A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法

(2)、解方程过程中，第二步变形的依据是．

(3)、请你用“公式法”解该方程．

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25. 下面是小聪同学用配方法解方程： $2 x^{2} - 4 x - p = 0$ $(p > 0)$ 的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
$2 x^{2} - 4 x - p = 0$
解：移项，得： $2 x^{2} - 4 x = p$ ． ①
二次项系数化为1，得： $x^{2} - 2 x = \frac{p}{2}$ ． ②
配方，得 $x^{2} - 2 x + 1 = \frac{p}{2}$ ． ③
即 $(x - 1)^{2} = \frac{p}{2}$ .
∵ $p > 0$ ，
∴ $x - 1 = \pm \sqrt{\frac{p}{2}}$ ． ④
∴ $x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{2 p}}{2}$ ， $x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{2 p}}{2}$ ． ⑤

(1)、第②步二次项系数化为1的依据是什么？

(2)、整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．

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五、实践探究题

26. 定义：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”．

(1)、下面方程是“完美方程”的是．（填序号）①x²-4x+3＝0；②2x²+x+3＝0；③2x²-x-3＝0．

(2)、已知3x²+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值．

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27. 小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你按有关内容补充完整：

复习日记卡片

内容：一元二次方程解法归纳时间：2019年6月1日

举例：求一元二次方程x²﹣x﹣2＝0的两个解

方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解

解方程：x²﹣x﹣2＝0．

解：

方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解

如图所示，把方程x²﹣x﹣2＝0的解看成是二次函数y＝ ▲ 的图象与x轴交点的横坐标，即x₁ ， x₂就是方程的解．

方法三：利用两个函数图象的交点求解

（1）把方程x²﹣x﹣2＝0的解看成是一个二次函数y＝ ▲ 的图象与一个一次函数y＝ ▲ 图象交点的横坐标；

（2）画出这两个函数的图象，用x₁ ， x₂在x轴上标出方程的解．

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28. 苏科版九上数学 $p 31$ 阅读 $《$ 各类方程的解法 $》$ 中提到：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ ，可以通过因式分解把它转化为 $x (x^{2} + x - 2) = 0$ ，解方程 $x = 0$ 和 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，可得方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解．

(1)、问题：方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解是 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} =$ ， $x_{3} =$ ；

(2)、用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；

(3)、拓展：若实数 $x$ 满足 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 3 x - \frac{3}{x} = 2$ ，求 $x + \frac{1}{x}$ 的值.

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29. 定义：已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根，若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，且 $3 < \frac{x_{1}}{x_{2}} < 4$ ，则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程 $x^{2} + 13 x + 30 = 0$ 的两根为 $x_{1} = - 10 ， x_{2} = - 3$ ，因 $- 10 < - 3 < 0$ ， $3 < \frac{- 10}{- 3} < 4$ ，所以一元二次方程 $x^{2} + 13 x + 30 = 0$ 为“限根方程”.
请阅读以上材料，回答下列问题：

(1)、判断一元二次方程 $x^{2} + 9 x + 14 = 0$ 是否为“限根方程”，并说明理由；

(2)、若关于x的一元二次方程 $2 x^{2} + (k + 7) x + k^{2} + 3 = 0$ 是“限根方程”，且两根 $x_{1} 、 x_{2}$ 满足 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} = - 1$ ，求k的值；

(3)、若关于x的一元二次方程 $x^{2} + (1 - m) x - m = 0$ 是“限根方程”，求m的取值范围.

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30. 定义一种新的运算方式： $C_{n}^{2} = \frac{n (n - 1)}{2}$ （其中 $n \geq 2$ ， n为正整数），例如 $C_{3}^{2} = \frac{3 (3 - 1)}{2} = 3$ ， $C_{5}^{2} = \frac{5 (5 - 1)}{2} = 10$ .

(1)、若 $C_{n}^{2} = 45$ ，求 $n$ 的值；

(2)、记 $C_{n}^{2} = y$ ，当 $y \geq 153$ 时，求 $n$ 的取值范围.

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31. 阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助 $.$ 所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，但变形一定要保证恒等，即配方前后式子的值不变．
例如：
解方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ，则有 $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 3 = 0$ ， $∴ (x - 1)^{2} = 4$ ，解得 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 1$ ．
已知 $x^{2} - 2 x + y^{2} + 4 y + 5 = 0$ ，求 $x$ ， $y$ 的值，则有 $(x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} + 4 y + 4) = 0$ ， $∴ (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 0$ ，解得 $x = 1$ ， $y = - 2$ ，
根据以上材料解答下列各题：

(1)、若 $x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13 = 0$ ，求 $(x + y)^{- 2011}$ 的值；

(2)、无论 $a$ 取何值，关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (a - 3) x - a = 0$ 总有两个不相等的实数根；

(3)、解方程： $x^{2} - 360 x + 32000 = 0$ ；

(4)、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 表示 $△ A B C$ 的三边长，且 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a c - a b - b c = 0$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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32. 定义：若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个整数根，且满足 $| x_{1} - x_{2} | = 1$ ，则称此类方程为“差1方程”．例如： $(x - 2) (x - 3) = 0$ 是“差 $1$ 方程”．

(1)、下列方程是“差 $1$ 方程”的是；（填序号）
① $\frac{1}{4} - x^{2} = 0$ ② $x^{2} + 7 x + 12 = 0$ ③ $x^{2} - x = 1$ ；

(2)、若方程 $x^{2} - (m + 1) x + m = 0$ 是“差 $1$ 方程”，求 $m$ 的值．

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33. 定义新运算“ $\oplus$ ”：对于实数 $m$ ， $n$ ， $p$ ， $q$ ，有 $[m ， p] \oplus [q ， n] = m n + p q$ ，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如： $[2 ， 3] \oplus [4 ， 5] = 2 \times 5 + 3 \times 4 = 22$ ．

(1)、求关于 $x$ 的方程 $[x^{2} ， x - 1] \oplus [3 ， 1] = 0$ 的根；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $[x^{2} + 1 ， x] \oplus [1 - 2 k ， k] = 0$ 有两个实数根，求 $k$ 的取值范围．

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34.

(1)、知识背景：利用配方法解一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，可以得到一元二次方程的求根公式.—般地，对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，当 $b^{2} - 4 a c ≥ 0$ 时，它的求根公式是 $x =$ ，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.

(2)、小明在用公式法解方程 $x^{2} - 5 x = 1$ 时出现了错误，解答过如下：
∵ $a = 1$ ， $b = - 5$ ， $c = 1$ ，（第一步）
∴ $b^{2} - 4 a c = {(- 5)}^{2} - 4 \times 1 \times 1 = 21$ .（第二步）
∴ $x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ .（第三步）
∴ $x_{1} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$ ， $x_{2} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$ .（第四步）
小明的解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是.

(3)、请你写出此题正确的解答过程.

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35. 如果一元二次方程的两根相差 $1$ ，那么该方程称为“差 $1$ 方程” $.$ 例如 $x^{2} + x = 0$ 是“差 $1$ 方程”．

(1)、判断下列方程是不是“差 $1$ 方程”，”并说明由：
① $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ ；
② $x^{2} - \sqrt{5} x + 1 = 0$ ；

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m - 1) x - m = 0 (m$ 是常数 $)$ 是“差 $1$ 方程”，求 $m$ 的值；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0 (a ， b$ 是常数， $a > 0)$ 是“差 $1$ 方程”，设 $t = 10 a - b^{2}$ ，求 $t$ 的最大值．

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36. 阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程： $x^{2} - 3 | x | - 10 = 0$ ．

解：分两种情况：

①当 $x \geq 0$ 时，原方程化为 $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ ，解得 $x_{1} = 5$ ， $x_{2} = - 2$ （舍去）；

②当 $x < 0$ 时，原方程化为 $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ ，解得 $x_{3} = - 5$ ， $x_{4} = 2$ （舍去）．

综上所述，原方程的解是 $x_{1} = 5$ ， $x_{2} = - 5$ ．

请参照上述方法解方程 $x^{2} - | x + 1 | - 1 = 0$ ．

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37. 阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{3}$ ﹣ $\frac{1}{4}$ ）×（ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ ）﹣（1﹣ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{3}$ ﹣ $\frac{1}{4}$ ﹣ $\frac{1}{5}$ ）×（ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ ）．
令 $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ =t，则
原式=（1﹣t）（t+ $\frac{1}{5}$ ）﹣（1﹣t﹣ $\frac{1}{5}$ ）t
=t+ $\frac{1}{5}$ ﹣t²﹣ $\frac{1}{5}$ t﹣ $\frac{4}{5}$ t+t²
= $\frac{1}{5}$
问题：

(1)、计算
（1﹣ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{3}$ ﹣ $\frac{1}{4}$ ﹣…﹣ $\frac{1}{2014}$ ）×（ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ +…+ $\frac{1}{2014}$ + $\frac{1}{2015}$ ）﹣（1﹣ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{3}$ ﹣ $\frac{1}{4}$ ﹣ $\frac{1}{5}$ ﹣…﹣ $\frac{1}{2014}$ ﹣ $\frac{1}{2015}$ ）×（ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ +…+ $\frac{1}{2014}$ ）；

(2)、解方程（x²+5x+1）（x²+5x+7）=7．

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