备考2024年中考数学计算能力训练2 实数的运算

试卷更新日期：2024-04-21 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列说法中正确的是（　　）

A、 $\sqrt{25}$ 的值是±5 B、两个无理数的和仍是无理数 C、-3没有立方根. D、 $\sqrt{a^{2} - b^{2}}$ 是最简二次根式.

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2. 实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

A、 $| m | < | n |$ B、 $m + n > 0$ C、 $m - n < 0$ D、 $m n > 0$

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3. 计算： $| - 2 | + 3 s i n 30 ° - 2^{- 1} - (2022 - π)^{0}$ 等于（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、0

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4. 观察下列各式： $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1 \times 2}$ ， $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2 \times 3}$ ， $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3 \times 4}$ ， …请利用你所发现的规律，计算 $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + ⋯ ⋯ + \sqrt{1 + \frac{1}{9^{2}} + \frac{1}{1 0^{2}}}$ ，其结果为（）

A、 $8 \frac{9}{10}$ B、 $9 \frac{9}{10}$ C、 $9 \frac{8}{9}$ D、 $8 \frac{8}{9}$

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5. 估计 $\sqrt{2} (\sqrt{23} - \sqrt{2})$ 的值应在（）

A、 $2$ 和 $3$ 之间 B、 $3$ 和 $4$ 之间 C、 $4$ 和 $5$ 之间 D、 $5$ 和 $6$ 之间．

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6. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，下列各数中最接近于 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 若x为实数，在“ $(\sqrt{3} + 1) ◯ x$ ”的“ $◯$ ”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $1 - \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $1 + \sqrt{3}$

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8. 计算 $s i n 60 ° \cdot t a n 30 ° - s i n 45 ° \cdot c o s 30 °$ 的结果是（）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

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9. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $| 3.14 - π | = π - 3.14$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 ${(a - 1)}^{2} = a^{2} - 2 a - 1$

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10. 今年“十一”期间，广州部分公园举行游园活动，据统计，天河公园早晨 $6$ 时 $30$ 分有 $2$ 人进入公园，接下来的第一个 $30$ 分钟内有 $4$ 人进去 $1$ 人出来，第二个 $30$ 分钟内有 $8$ 人进去 $2$ 人出来，第三个 $30$ 分钟内有 $16$ 人进去 $3$ 人出来，第四个 $30$ 分钟内有 $32$ 人进去 $4$ 人出来．按照这种规律进行下去，到上午 $11$ 时 $30$ 分公园内的人数是（）

A、 $2^{11} - 47$ B、 $2^{12} - 57$ C、 $2^{13} - 68$ D、 $2^{14} - 80$

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二、填空题

11. ${(\sqrt{3} - 1.732)}^{0} + {(- \frac{1}{4})}^{- 2} =$ ．

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12. 计算： $| - 5 | + (3 - π)^{0} - 6 \times 3^{- 1} + \frac{2}{\sqrt{3} - 1} - 2 s i n 6 0^{°}$ =。

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13. 计算： ${(π - 3)}^{0} + {(- 1)}^{3} =$ ．

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14. 计算： $- 1^{2} + (- \frac{1}{2})^{- 1} - | \sqrt{3} - 2 | =$ ．

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15. 计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + {(2023 - π)}^{0} - \sqrt{12} s i n 60 ° =$ ．

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三、计算题

16. 计算：

(1)、sin²30°＋2sin60°＋tan45°＋cos²30°；

(2)、 $(π - 3.14)^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 1} + | 3 - \sqrt{8} | - 4 c o s 4 5^{°}$ ．

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17. 计算： $\sqrt{9} - 2 c o s 3 0^{°} - {(\frac{1}{2})}^{- 1} + (π - 3.14)^{0} + | 1 - \sqrt{3} |$

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18. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(π - 2024)}^{0} + 2 \sqrt{3} \cdot c o s 60 ° - \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ．

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19. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - 4 \sin 60 ° - {(1 - \sqrt{3})}^{0} + \sqrt{12}$ ．

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四、综合题

20.

(1)、在计算 $\frac{- 2^{2} - (- 1)^{10} + | - 6 | + 3^{3}}{\sqrt{3} t a n 30 ° - \sqrt[3]{64} \times (- 2)^{- 2} + (- 2)^{0}}$ 时，小亮的计算过程如下：
解： $\frac{- 2^{2} - (- 1)^{10} + | - 6 | + 3^{3}}{\sqrt{3} t a n 30 ° - \sqrt[3]{64} \times (- 2)^{- 2} + (- 2)^{0}}$
$= \frac{4 - (- 1) - 6 + 27}{\sqrt{3} \times \sqrt{3} - 4 \times 2^{2} + 0}$
$= \frac{4 + 1 - 6 + 27}{3 - 16}$
$= - 2$
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
① $- 2^{2} = 4$ ；② $(- 1)^{10} = - 1$ ；③ $| - 6 | = - 6$ ；
请写出正确的计算过程．

(2)、先化简，再求值： $(\frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x}) \cdot \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} + 6 x + 9}$ ，其中x是方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的根．

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21. 老师就式子 $3 \times □ + 9 - ○$ ，请同学们自己出问题并解答．

(1)、小磊的问题：若 $□$ 代表 $(- 2)^{2}$ ， $○$ 代表 $(- 3)^{3}$ ，计算该式的值．

(2)、小敏的问题：若 $□$ 代表 $\sqrt{5}$ ， $○$ 代表 $\sqrt{a}$ ，计算的结果是有理数，求有理数a的值．

(3)、小捷的问题：若 $3 \times □ + 9 - ○ < 4$ ，且 $□$ 和 $○$ 所代表的数是互为相反数，直接写出 $□$ 所代表的数的取值范围．

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五、实践探究题

22. 阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于-1，记为 $i_{}^{2}$ =-1，这个数i叫做虚数单位。那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为 $a + b i$ （a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似。
例如计算： $(5 + i) \times (3 - 4 i) = 19 - 17 i$ .

(1)、填空： $i_{}^{3}$ = ， $i_{}^{4}$ =.

(2)、计算： $(3 + i)_{}^{2}$ ；

(3)、试一试：请利用以前学习的有关知识将 $\frac{2 + i}{2 - i}$ 化简成 $a + b i$ 的形式.

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23. 阅读理解下面内容，并解决问题.

用求差法比较大小

学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断．如果两个数或式子为m和n，那么

当 $m > n$ 时，一定有 $m - n > 0$ ；

当 $m = n$ 时，一定有 $m - n = 0$ ；

当 $m < n$ 时，一定有 $m - n < 0$ ．

反过来也符合题意，即

当 $m - n > 0$ 时，一定有 $m > n$ ；

当 $m - n = 0$ 时，一定有 $m = n$ ；

当 $m - n < 0$ 时，一定有 $m < n$ ．

因此，我们经常把要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．这种比较大小的方法被称为“求差法”．

例如：已知 $a > b > c > 0$ ，比较 $\frac{a - c}{b}$ 与 $\frac{b - c}{a}$ 的大小．

解：

$\frac{a - c}{b} - \frac{b - c}{a} = \frac{a (a - c) - b (b - c)}{a b} = \frac{a^{2} - a c - b^{2} + b c}{a b} = \frac{(a^{2} - b^{2}) - (a - b) c}{a b} = \frac{(a - b) (a + b - c)}{a b}$

∵ $a > b > c > 0$ ，

∴ $a - b > 0$ ， $a b > 0$ ， $a + b - c > 0$ ，

∴ $\frac{(a - b) (a + b - c)}{a b} > 0$ ，

∴ $\frac{a - c}{b} > \frac{b - c}{a}$ ．

“求差法”的实质是把两个数（或式子）的大小判断的问题，转化为一个数（或式子）与0的大小比较的问题．一般步骤为①作差；②变形；③判断符号；④得出结论．

请解决以下问题：

(1)、用“

>

”或“

<

”填空：

3 - \sqrt{2}

4 - 2 \sqrt{2}

．

(2)、制作某产品有两种用料方案，方案1：用4块A型钢板，6块B型钢板；方案2：用3块A型钢板，7块B型钢板；已知A型钢板的面积比B型钢板的面积大，若A型钢板的面积为x，B型钢板的面积为y，则从省料的角度考虑，应选哪种方案？并说明理由．

(3)、已知

a > 0

，比较a与

\frac{1}{a}

的大小．

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