【培优卷】2024年北师大版数学八（下）第五章分式与分式方程章末检测

试卷更新日期：2024-04-21 类型：单元试卷

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一、选择题（每题2分个，共20分）

1. 在式子 $\frac{x}{2}$ ， $\frac{2}{π}$ ， $\frac{y}{3 x}$ ， $\frac{3}{2 - x}$ ， $\frac{5 x}{x + y}$ ，中，分式有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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2. 下列各式正确的是（）

A、 $\frac{- a + b}{- a - b}$ ＝ $\frac{a + b}{a - b}$ B、 $\frac{- a + b}{- a - b}$ ＝ $\frac{- a + b}{a + b}$ C、 $\frac{- a + b}{- a - b}$ ＝ $\frac{a - b}{a + b}$ D、 $\frac{- a + b}{- a - b}$ ＝ $\frac{a - b}{- a - b}$

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3. 如果分式 $\frac{| x | - 1}{x - 1}$ 的值为零，那么 $x$ 等于（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $\pm 1$

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4. 若m－n＝2，则代数式 $\frac{m^{2} - n^{2}}{m} \cdot \frac{2 m}{m + n}$ 的值是（）

A、－2 B、2 C、－4 D、4

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5. 在计算 $(\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \cdot \frac{x + 1}{x}$ 时，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但计算结果相同，则（）
嘉嘉： $(\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= (\frac{x - 1 + 1}{x + 1}) \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= 1$
琪琪： $(\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{x - 1}{x} + \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{2 x}{2 x}$
$= 1$

A、嘉嘉正确 B、琪琪正确 C、都正确 D、都不正确

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6. 若关于x的分式方程 $\frac{2 m}{x - 1} + \frac{m}{x + 1} = \frac{4}{x^{2} - 1}$ 有增根，则m的值为（）

A、1 B、-2 C、1或 $- 2$ D、 $- 1$ 或2

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7. 若整数a使关于x的分式方程 $\frac{1}{x - 3} + \frac{x - a}{3 - x} = 1$ 的解为非负整数，且使关于y的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{y + 5}{3} \leq \frac{y}{2} \\ y - 3 > 2 (y - a) \end{array}$ 至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）

A、24 B、12 C、6 D、4

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8. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装袆前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米?设边衬的宽度为 $x$ 米，根据题意可列方程（）

A、 $\frac{1.4 - x}{2.4 - x} = \frac{8}{13}$ B、 $\frac{1.4 + x}{2.4 + x} = \frac{8}{13}$ C、 $\frac{1.4 - 2 x}{2.4 - 2 x} = \frac{8}{13}$ D、 $\frac{1.4 + 2 x}{2.4 + 2 x} = \frac{8}{13}$

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9. 你听说过著名的牛顿万有力定律吗？任何两个物体之间都有吸引力，如果设两个物体的质量分别为m₁ ， m₂ ，它们之间的距离是d，那么它们之间的引力就是f＝ $\frac{g m_{1} m_{2}}{d^{2}}$ （g为常数），人在地面上所受的重力近似地等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R.天文学家测得地球的半径约占木星半径的 $\frac{4}{45}$ ，地球的质量约占木星质量的 $\frac{1}{318}$ ，则站在地球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的（）

A、 $\frac{5}{2}$ 倍 B、 $\frac{2}{5}$ 倍 C、25倍 D、4倍

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二、填空题（每题3分，共15分）

10. 要使函数 $y = \frac{\sqrt{2 x - 1}}{x - 1} + {(x - 3)}^{0}$ 有意义，则x的取值范围是．

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11. $\frac{2}{3 x^{2} (x - y)} ， \frac{2}{3 x - 3 y} ， \frac{1}{2 x y}$ 的最简公分母是 .

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12. 我们常用一个大写字母来表示一个代数式，已知 $A = x - \frac{2 x - 1}{x}$ ， $B = \frac{x - 1}{x}$ ，则化简 $A \div B$ 的结果为．

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13. 已知a为 $2 \leq a \leq 4$ 范围的整数，则 $\frac{4 - a}{a} \div (\frac{a + 2}{a^{2} - 2 a} - \frac{a - 1}{a^{2} - 4 a + 4})$ 的值是.

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14. 有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程 $\frac{1 - a x}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$ 有正整数解的概率为

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三、计算题（共4题，共25分）

15. 计算

(1)、解不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} \leq 1 \\ 5 x - 1 < 3 (x + 1) \end{array}$

(2)、因式分解 $- b^{3} + 4 a b^{2} - 4 a^{2} b$

(3)、解分式方程 $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$

(4)、先化简，再求值． $(1 - \frac{x^{2}}{x^{2} + x}) + \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，从 $- 1$ ， 0，1，2中选取一个代入求值．

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16. 已知关于x的方程 $\frac{x}{x - 3} - 1 = \frac{m}{(x - 3) (x - 4)}$

(1)、m为何值时，这个方程的解是5？

(2)、m为何值时，这个方程有增根？

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17. 已知abc≠0且a+b+c=0,求a $(\frac{1}{b} + \frac{1}{c})$ +b $(\frac{1}{c} + \frac{1}{a})$ +c $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ 的值.

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18. 计算 $\frac{1}{x (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} + \dots + \frac{1}{(x + 2017) (x + 2018)}$ 并求当x=1时,该代数式的值.

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四、解答题（共6题，共40分）

19. 小明邀请你请参与数学接龙游戏：
【问题】解分式方程： $\frac{3 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{3 x} = 2$ ，

【小明解答的部分】解：设 $\frac{3 x}{x - 1} = t$ ，则有 $\frac{x - 1}{3 x} = \frac{1}{t}$ ，故原方程可化为 $t + \frac{1}{t} = 2$ ，去分母并移项，得 $t^{2} - 2 t + 1 = 0$ .

【接龙】

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20. 为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的 $\frac{4}{5}$ ．

(1)、求篮球、足球的单价分别为多少元？

(2)、学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（ $m \leq 45$ ）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；

(3)、在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？

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21. 2023年5月8日是第76个“世界红十字日”，今年的主题是“生命教育，‘救’在身边”．目前，太原市许多公共场所已配置急救设备自动体外除颤器（AED），用来抢救心脏骤停虫者某高校先后两次购置AED设备，第一次总费用为88000元，第二次总费用为120000元．已知第二次比第一次多购置了2台，但每台价格是第一次每台价格的 $\frac{10}{11}$ ．

(1)、该校第一次购置AED设备多少台？

(2)、该校计划将所购置的AED设备用壁挂式、立式两种存储柜分散固定在校园内，已知一共需购买两种存储柜10个，其售价分别如下图所示．若要使购买存储柜的总费用不超过7000元，最多可购买立式存储柜多少个？

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22. 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对A款电动汽车和B款燃油车的对比调查发现，A款电动车汽车平均每千米的充电费比B款燃油车平均每千米的加油费少0.6元．

(1)、若充电费和加油费均为200元时，A款电动汽车可行驶的总路程是B款燃油车的4倍，求A款电动汽车平均每千米的充电费；

(2)、A款电动车汽车从甲地出发，计划按照一定的速度匀速行驶150km的路程到达乙地．行驶了 $30 k m$ 后，到了一段平坦且车少的路段，决定在原来速度的基础上每小时增加15km，这样，到达乙地所用的总的时间是原计划时间的 $\frac{13}{15}$ ，求原计划的速度．

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23. 某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件.

(1)、求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？

(2)、为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变.
方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变.
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同.
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期问另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由.

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24. 随着天气转暖，越来越多的市民喜欢到户外活动，小明与同学约定周末带帐篷到附近露营地开展活动．

(1)、[买帐篷]经了解，某种帐篷有A、B两种型号，已知A型帐篷的单价比B型帐篷的单价多30元，用1200元购买A型帐篷的数量和用900元购买B型帐篷的数量相同．小明买了A、B两种型号帐篷各2个，共需多少钱？

(2)、[摆帐篷]周末，小明与同学一起来到露营地，发现有一块由篱笆围绕的长20米，宽14米的矩形草地(抽象成如图11的20×14的方格纸)可用来摆帐篷．经测量，每个帐篷占据的地面部分是半径为3米的圆形(抽象成如图10的圆)，为保障通行，帐篷四周需要留有通道，通道最狭窄处的宽度不小于I米．小明将第一个帐篷按要求摆放在如图所示的位置，此块草地内最多还能摆下几个同样大小的帐篷呢？请在图11中画出符合要求的设计示意图．(要求：圆心要画在格点上，画圆时要用圆规)

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五、实践探究题（共3题，共20分）

25. “ $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} |$ ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，例如： $| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} | = 1 \times 4 - 2 \times 3 = - 2$ .

(1)、计算 $| \begin{matrix} a + b & a - b \\ \frac{1}{2 a^{2} b} & \frac{1}{2 a^{2} b} \end{matrix} |$ ；

(2)、求等式 $| \begin{array}{l} 2 & \frac{1}{1 - x} \end{array} | = 1$ 中x的值.

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26. 阅读下面材料，并解答问题.
将分式 $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

解：由分母为x²﹣1，可设x⁴+x²﹣3＝（x²﹣1）（x²+a）+b.

则x⁴+x²﹣3＝（x²﹣1）（x²+a）+b＝x⁴﹣x²+ax²﹣a+b＝x⁴+（a﹣1）x²﹣a+b

∴ ${\begin{cases} a - 1 = 1 \\ - a + b = - 3 \end{cases}$ ，∴ ${\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases}$

∴ $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ ＝ $\frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 2) - 1}{x^{2} - 1}$ ＝ $\frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 2)}{x^{2} - 1}$ ﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$ ＝（x²+2）﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$

这样，分式 $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ 被拆分成了一个整式x²+2与一个分式﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$ 的和.

根据上述作法，将分式 $\frac{x^{4} + 6 x^{2} - 8}{x^{2} - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

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27. 阅读下列材料，完成相应的任务．

真分式与假分式

将两个整数相除（除数不为零）表示成分数，可能得到真分数，也可能得到假分数；类似地，分式也有真、假之分．我们规定，在分式中，当分子中整式的次数大于或等于分母中整式的次数，如 $\frac{x^{2} - 1}{x}$ ， $\frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} - x}$ ，称为假分式；当分子中整式的次数小于分母中整式的次数时，如 $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 2 x - 3}$ ，称为真分式．

一些假分数可以化为带分数，即整数与真分数之和，如： $\frac{7}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = 2 \frac{1}{3}$ ；类似地，我们也可以把一些假分式化为带分式，即整式与真分式之和（或差）的形式．例： $\frac{x^{2} - 1}{x} = \frac{x^{2}}{x} - \frac{1}{x} = x - \frac{1}{x}$ ； $\frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} - x} = \frac{2 (x^{2} - x) + 2 x + 1}{x^{2} - x} = 2 + \frac{2 x + 1}{x^{2} - x}$ ．

任务：

(1)、下列分式中，是假分式（填序号）：

① $\frac{m^{2} + m}{2 m^{2} - 3}$ ；② $\frac{3}{x^{2}}$ ；③ $\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3}{5 x^{2} - 2 x}$ ；

(2)、小彬将一个假分式化成带分式的结果为

x + 1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}

，请求出原来的假分式；

(3)、请从下面

A ， B

两题中任选一题作答．我选择． A.将假分式

\frac{2 x - 1}{x + 1}

化成带分式的结果为；B.将假分式

\frac{3 x^{2} - 1}{x - 1}

化成带分式的结果为 ▲ ．