【基础卷】2024年北师大版数学八（下）第五章分式与分式方程章末检测

试卷更新日期：2024-04-21 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列式子中，属于分式的是（　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{9 - x}$ C、2x D、 $\frac{x}{3}$

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2. 将分式 $\frac{a b}{a - b}$ 中的 $a$ 、 $b$ 都扩大到3倍，则分式的值（）

A、不变 B、扩大3倍 C、扩大9倍 D、扩大6倍

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3. 把分式 $\frac{x^{2}}{x - y}$ 中的分子分母的x、y都同时扩大为原来的2倍，那么分式的值将是原分式值的. （）

A、2倍 B、4倍 C、一半 D、不变

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4. 下列各分式中，是最简分式的是（）

A、 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x - y}$ B、 $\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}$ C、 $\frac{x^{2} + x}{x y}$ D、 $\frac{x y}{y^{2}}$

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5. 下列分式计算错误的是（）

A、 $\frac{x}{y} = \frac{x \cdot a}{y \cdot a} (a \neq 0)$ B、 $\frac{- x + y}{x} = - \frac{x - y}{x}$ C、 $\frac{9 - x^{2}}{x^{2} - 3 x} = \frac{3 + x}{x}$ D、 $\frac{a}{x - y} + \frac{a}{y - x} = 0$

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6. 若分式方程 $\frac{a x}{x - 3} + \frac{3}{3 - x} = 2$ 无解，则 $a$ 的值是（）

A、 $3$ 或 $2$ B、 $1$ C、 $1$ 或 $3$ D、 $1$ 或 $2$

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7. 下列等式分别是四位同学解方程 $\frac{x}{x - 1} + \frac{2 x}{1 - x} = 1$ 过程中去分母的一步，其中正确的是（）

A、 $x - 2 x = 1$ B、 $x - 2 x = - 1$ C、 $x + 2 x = x - 1$ D、 $x - 2 x = x - 1$

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8. 解方程 $\frac{x - 1}{x} - \frac{2 x}{x - 1} = 3$ 时，设 $\frac{x - 1}{x} = y$ ，则原方程可化为关于 $y$ 的整式方程是（）

A、 $y - \frac{2}{y} = 3$ B、 $y^{2} - 2 y = 3$ C、 $y^{2} + 3 y - 2 = 0$ D、 $y^{2} - 3 y - 2 = 0$

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9. 已知 $x = 2$ 是分式方程 $\frac{k}{x} + \frac{x - 3}{x - 1} = 1$ 的解，那么实数 $k$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学。学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军从家乘校车上学可以晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同.设小军骑车的速度为 $x$ 千米/小时，则所列方程正确的为（）

A、 $\frac{5}{x} + \frac{1}{6} = \frac{5}{2 x}$ B、 $\frac{5}{x} - \frac{1}{6} = \frac{5}{2 x}$ C、 $\frac{5}{x} + 10 = \frac{5}{2 x}$ D、 $\frac{5}{x} - 10 = \frac{5}{2 x}$

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 当x=时，分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ 的值为0．

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12. 化简： $x^{2} \div x \cdot \frac{y^{6}}{x} {(\frac{x}{- y^{2}})}^{3} =$ .

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13. 分式 $\frac{3}{2 a^{2} b}$ 与 $\frac{a - b}{a b^{2} c}$ 的最简公分母是.

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14. 在方程 $\frac{1}{x + 1} = \frac{3}{y - 2} ， 3 + \frac{1}{x} = 2 ， \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 0 ， \frac{x}{x} = 1$ 中，分式方程有个.

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15. 在分式方程 $\frac{2 x + 1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 x + 1} = 1$ 中，令 $y = \frac{2 x + 1}{x^{2}}$ ，则原方程可化为关于y的方程是．

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三、计算题（共6题，共35分）

16. 约分

(1)、 $\frac{24 a^{2} b}{- 4 a b}$

(2)、 $\frac{2 a^{2} - a b}{2 a^{2} b - a b^{2}}$

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17. 化简：

(1)、 $\frac{a}{a - 1} + \frac{1}{1 - a}$ ；

(2)、 $(a - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a}$ ．

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18. 解方程

(1)、 $\frac{5}{x - 1} = \frac{1}{2 x + 1}$

(2)、 $\frac{1}{x - 2} + 2 = \frac{1 - x}{2 - x}$

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19.

(1)、先化简： $(\frac{2 x - 3}{x - 2} - 1) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ ，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代人求值．

(2)、解方程： $\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x + 2} = \frac{1}{x - 2}$

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20. 已知 $\frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ ＝5，求 $\frac{3 a + 2 a b - 3 b}{a - a b - b}$ 的值．

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21. 已知： $A = (\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，先化简A ，再从 $- 1 < x \leq 2$ 中取一个合适的值代入，求A的值．

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四、解答题（共3题，共23分）

22. 已知代数式 $\frac{1}{x - 1} + \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 1}$ ，回答下列问题：

(1)、当x=－2时，化简并求出这个代数式的值；

(2)、小红根据化简的结果认为：“当x=1时，该代数式的值为0”，你同意她的说法吗？请说明理由．

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23.

(1)、计算： $6 + (\sqrt{5} + 1) (\sqrt{5} - 1)$ ．

(2)、下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：已知 $x = \sqrt{2}$ ，求 $x + 1 - \frac{x^{2}}{x - 1}$ 的值．

原式 $= \frac{(x + 1) (x - 1) - x^{2}}{x - 1}$ 第一步

$= \frac{x^{2} - 1 - x^{2}}{x - 1}$      第二步

$= \frac{- 1}{x - 1}$         第三步

所 $x = \sqrt{2}$ 代入上式，得

原式 $= \frac{- 1}{\sqrt{2} - 1}$      第四步

$= \frac{- 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)}$    第五步

$= - 1$ ．         第六步

任务一：填空：

①在化简步骤中，第步是进行分式的通分．

②第步开始出错，这一错误的原因是．

任务二：请直接写出该题计算后的正确结果．

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五、实践探究题（共2题，共17分）

24. 【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即 $A - B = A B$ ，则称分式B是分式A的“关联分式”．
例如 $\frac{1}{x + 1}$ 与 $\frac{1}{x + 2}$ ，
解： $∵ \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ，
$\frac{1}{x + 1} \times \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ，
$∴ \frac{1}{x + 2}$ 是 $\frac{1}{x + 1}$ 的“关联分式”．

(1)、【解决问题】已知分式 $\frac{2}{a^{2} - 1}$ ，则 $\frac{2}{a^{2} + 1}$ $\frac{2}{a^{2} - 1}$ ，的“关联分式”（填“是”或“不是”）．

(2)、和谐小组成员在求分式 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“关联分式”为B，
则 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} - B = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \times B$ ，
$∴ (\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + 1) B = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ ，
$∴ B = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ ．
请你仿照和谐小组成员的方法求分式 $\frac{a - b}{2 a + 3 b}$ 的“关联分式”．

(3)、【拓展延伸】观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式 $\frac{y}{x}$ 的“关联分式”：．

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25. 阅读下列材料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如： $\frac{4}{x + 3}$ ， $\frac{x + 1}{x^{2}}$ 这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如 $\frac{x + 2}{x - 1}$ ， $\frac{x^{2} - 1}{2 x + 1}$ 这样的分式就是假分式.假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.

例如： $\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{(x - 1) + 3}{x - 1} = 1 + \frac{3}{x - 1}$ ；

又如： $\frac{2 x^{2} - 3 x + 3}{x - 1} = \frac{2 {(x - 1)}^{2} + x + 1}{x - 1} = \frac{2 {(x - 1)}^{2} + (x - 1) + 2}{x - 1}$

$= 2 (x - 1) + 1 + \frac{2}{x - 1} = 2 x - 1 + \frac{2}{x - 1}$ .

(1)、分式 $\frac{2 x^{2}}{x}$ 是（填“真分式”或“假分式”）﹔

(2)、将假分式 $\frac{3 x + 1}{x - 1}$ 化为带分式；

(3)、如果分式 $\frac{8 x^{2} + 16 x + 3}{2 x + 1}$ 的值为整数，求所有符合条件的整数 $x$ 的值.

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一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、计算题（共6题，共35分）

四、解答题（共3题，共23分）

五、实践探究题（共2题，共17分）

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