【提升卷】2024年北师大版数学八（下）5.4分式方程同步练习

试卷更新日期：2024-04-21 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列方程① $\frac{x - 4}{y} = x + y$ ， ② $\frac{1}{x} = 5$ ， ③ $\frac{x - 1}{π} = x - 3$ ， ④ $\frac{x}{a} = \frac{1}{b - 1}$ 中，是关于x的分式方程的有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{x + m}{x - 3} + \frac{3 m}{3 - x} = 3$ 的解为正数，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < \frac{9}{2}$ B、 $m < \frac{9}{2}$ 且 $m \neq \frac{3}{2}$ C、 $m > - \frac{9}{4}$ D、 $m > - \frac{9}{4}$ 且 $m \neq - \frac{3}{4}$

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3. 若解分式方程 $\frac{x - 1}{x + 4}$ = $\frac{m}{x + 4}$ 产生增根，则m=（）

A、1 B、0 C、﹣4 D、﹣5

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4. 如果关于x的分式方程 $\frac{a}{x + 0.5} - 2 = \frac{3}{x + 0.5}$ 有负分数解，且关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 (a - x) \geq - x - 4 \\ \frac{3 x + 4}{2} < x + 1 \end{array}$ 的解集为 $x < - 2$ ，则符合条件的所有整数a的积是（）

A、9 B、3 C、0 D、 $- 3$

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5. 如果关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 2} + \frac{m + 1}{2 - x} = 2$ 有非负整数解，且一次函数 $y = x + m + 2$ 不经过第四象限，则所有符合条件的 $m$ 的和是（）.

A、0 B、2 C、3 D、5

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6. 用换元法解方程 $\frac{x}{x + 1} - \frac{x + 1}{x} + 3 = 0$ 时，如果设 $\frac{x}{x + 1} = y$ ，那么原方程可化为（）

A、 $y^{2} + 3 y - 1 = 0$ B、 $y^{2} - 3 y + 1 = 0$ C、 $y^{2} + y - 3 = 0$ D、 $y^{2} - y + 3 = 0$ ．

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7. 某车间加工600个零件后采用了新工艺，工效提高了50%，这样加工同样多的零件少用5h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则可列方程为（）

A、 $\frac{600}{(1 + 50 %) x} - \frac{600}{x} = 5$ B、 $\frac{600}{x} - \frac{600}{(1 + 50 %) x} = 5$ C、 $\frac{600}{x} - \frac{600}{(1 - 50 %) x} = 5$ D、 $\frac{600}{(1 - 50 %) x} - \frac{600}{x} = 5$

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8. 我市防汛办为解决台风季排涝问题，准备在一定时间内铺设一条长4000米的排水管道，实际施工时，____.求原计划每天铺设管道多少米？题目中部分条件被墨汁污染，小明查看了参考答案为：“设原计划每天铺设管道x米，则可得方程 $\frac{4000}{x - 10} - \frac{4000}{x} = 20$ ， …”根据答案，题中被墨汁污染条件应补为（）

A、每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成 B、每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成 C、每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成 D、每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成

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二、填空题

9. 已知关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x > m + 2 \\ 2 x + 1 \leq - 4 m - 1 \end{array}$ 无解，且关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 2} + \frac{m x + 4}{2 - x} = - 1$ 的解是正整数，则整数m的值为．

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10. 已知整数a，使得关于x的分式方程 $\frac{3 - a x}{x - 3} + 3 = \frac{x}{3 - x}$ 有整数解，且关于x的一次函数y=（a-1）x+a-10的图象不经过第二象限，则满足条件的整数a的值有个．

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11. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式 $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} (v \neq f)$ 表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．若已知f、v ，则 $u =$ ．

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12. 为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是元．

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13. 定义 $F (x ， y) = \frac{a x - b y}{x - 1}$ ，如： $F (3 ， 2) = \frac{3 a - 2 b}{3 - 1}$ ．若 $F （ 2 ， 3 ） = 1$ ， $F (3 ， 1) = \frac{5}{2}$ ，且关于x的方程 $F （ x ， k ） + F （ x + 1 ， 2 x ） = 2$ 无解，则实数k的值为．

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三、计算题

14. 解分式方程：

(1)、 $\frac{2}{x - 2} = \frac{1 + x}{x - 2} + 1$ ；

(2)、 $\frac{x}{x + 2} + \frac{4}{x^{2} - 4} = 1$ ．

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15. 先化简：若a是方程 $\frac{1}{a} = \frac{2}{a + 3}$ 的解，求代数式 $(1 - \frac{3}{a + 2}) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 4}$ 的值．

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16. 计算

(1)、 $（ \frac{- x}{y} ）^{2} \cdot \frac{3 y}{2 x} \div \frac{9 y}{4 x^{2}}$ ；

(2)、 $\frac{x - 3}{x + 3} \div \frac{2}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x - 3}$ ；

(3)、 $\frac{12}{x^{2} - 9} - \frac{2}{x - 3} = \frac{1}{x + 3}$ ；

(4)、已知， $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边，求证： $a^{2} - 2 a c + c^{2} - b^{2} < 0$ ．

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四、解答题

17. 在解分式方程 $\frac{1 - x}{x - 2} = \frac{1}{2 - x} - 2$ 时，小亮的解法如下：
解：方程两边同时乘 $x - 2$ ，得 $1 - x = - 1 - 2$ （第一步）
解这个整式方程得： $x = 4$ （第二步）
……

(1)、任务一：填空
在上述小亮所解方程中，第步有错，错误的原因是：．

(2)、任务二：请写出解这个方程的正确过程．

(3)、任务三：请你根据平时的学习经验，针对解分式方程的注意事项给其他同学再提出一条建议．

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18. 科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，一条某型号的自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣6000件包裹，用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用7.5小时．

(1)、一条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？

(2)、新年将至，某转运中心预计每日需分拣的包裹量高达576000件，现准备则买该型号的自动分拣流水线进行24小时作业，则至少应购买多少条?

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19. 某中学开学初在商场购进 $A$ 、 $B$ 两种品牌的足球，购买 $A$ 品牌足球花费了 $3000$ 元，购买 $B$ 品牌足球花费了 $2400$ 元，且购买 $A$ 品牌足球数量是购买 $B$ 品牌足球数量的 $2$ 倍，已知购买一个 $B$ 品牌足球比购买一个 $A$ 品牌足球多花 $30$ 元．

(1)、求购买一个 $A$ 品牌、一个 $B$ 品牌的足球各需多少元；

(2)、该中学决定再次购进 $A$ ， $B$ 两种品牌足球共 $50$ 个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整， $A$ 品牌足球售价比第一次购买时提高了 $8 %$ ， $B$ 品牌足球按第一次购买时售价的 $9$ 折出售，如果这所中学此次购买 $A$ 、 $B$ 两种品牌足球的总费用不超过 $3060$ 元，那么该中学此次最多可购买多少个 $B$ 品牌足球？

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五、实践探究题

20. 观察下列方程及解的特征：
⑴x+ $\frac{1}{x}$ =2的解为x₁=x₂=1；
⑵x+ $\frac{1}{x}$ = $\frac{5}{2}$ 的解为x₁=2，x₂= $\frac{1}{2}$ ；
⑶x+ $\frac{1}{x}$ = $\frac{10}{3}$ 的解为x₁=3，x₂= $\frac{1}{3}$ ；
解答下列问题：

(1)、请猜想：方程x+ $\frac{1}{x}$ = $\frac{26}{5}$ 的解为；

(2)、请猜想：关于x的方程x+ $\frac{1}{x}$ ═ 的解为x₁=a，x₂= $\frac{1}{a}$ （a≠0）；

(3)、下面以解方程x+ $\frac{1}{x}$ = $\frac{26}{5}$ 为例，验证（1）中猜想结论的正确性．

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21. 对于实数 $x$ ，规定： $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ 。例如： $f (2) = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$ ， $f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{1}{3}$ 。

(1)、求值： $f (3) + f (\frac{1}{3}) =$ ； $f (5) + f (\frac{1}{5}) =$ 。

(2)、猜想： $f (x) + f (\frac{1}{x}) =$ ，并证明你的结论；

(3)、解方程： $f (x - 1) + f (x + 1) = 2$ 。

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一、选择题

二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、实践探究题

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