【培优卷】2024年北师大版数学八（下）5.4分式方程同步练习

试卷更新日期：2024-04-21 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + m}{4 - x^{2}} + \frac{x}{x - 2} = 1$ 有增根，则 $m$ 的值是（）

A、 $m = 2$ 或 $m = 6$ B、 $m = 2$
C、 $m = 6$ D、 $m = 2$ 或 $m = - 6$

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2. 若实数a，b，c满足条件 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c} ，$ 则a，b，c中（）

A、必有两个数相等 B、必有两个数互为相反数 C、必有两个数互为倒数 D、每两个数都不相等

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3. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 1 < 5 x - 4 \\ \frac{13}{6} x - \frac{8}{3} a \geq \frac{3}{2} x - 2 a \end{array}$ 的解集为 $x \geq a$ ，且关于x的分式方程 $\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{a}{1 - x} = 2$ 的解为非负数，则所有满足条件的整数a的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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4. 若整数 $a$ 使得关于 $x$ 的分式方程 $\frac{16}{x (x - 4)} + \frac{2}{x} = \frac{a}{x - 4}$ 有正整数解，且使得关于 $y$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{y + 1}{2} - \frac{y - 1}{3} > 1 \\ \frac{1 - y}{2} \geq 3 - a \end{array}$ 有解，那么符合条件的所有整数 $a$ 的和为（）

A、 $23$ B、 $20$ C、 $16$ D、 $10$

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5. 若二次根式 $\sqrt{2 - m}$ 有意义，且关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{1 - x} + 2 = \frac{3}{x - 1}$ 有正数解，则符合条件的整数 $m$ 的和是（）

A、 $- 7$ B、 $- 6$ C、 $- 5$ D、 $- 4$

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6. 如果关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} m - 5 x \geq 2 \\ x - \frac{11}{2} < 3 (x + \frac{1}{2}) \end{array}$ 有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{2 - m y}{2 - y}$ - $\frac{8}{y - 2}$ ＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（）

A、13 B、15 C、20 D、22

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7. 对于a、b定义 $a ★ b = \frac{1}{a - b^{2}}$ ，已知分式方程 $x ★ (- 1) = \frac{x}{3 - 3 x}$ 的解满足不等式 $(2 - a) x - 3 > 0$ ，则a的取值范围是（）

A、 $a < 1$ B、 $a > 1$ C、 $a < 3$ D、 $a > 3$

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8. 某超市同时卖出了一个“宸宸”和一个“莲莲”吉祥物玩偶，售价均为90元，按成本计算，营业员发现“宸宸”盈利了50%，而“莲莲”却亏损了40%，则超市共（）

A、不盈利也不亏损 B、盈利30元 C、亏损30元 D、盈利10元

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二、填空题

9. 当 $m =$ ，关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + 5}{x - 2} + \frac{x - m}{x^{2} - 4} = \frac{2}{x + 2}$ 有增根.

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10. 若实数a.b满足 $\frac{a}{2^{4} + 4^{3}}$ + $\frac{b}{2^{4} + 5^{3}}$ =1， $\frac{a}{3^{4} + 4^{3}}$ + $\frac{b}{3^{4} + 5^{3}}$ =1，则a+b=.

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11. 取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字： $- 1$ ， 1， $- 2$ ， 2， $- 3$ ， 3，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上.从中任意抽出1张，记卡片上的数字为 $m$ ，则数字 $m$ 使分式方程 $\frac{x - m}{x - 2} + \frac{1}{x} = 1$ 无解的概率为.

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12. 重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2．随着促进消费收策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 $\frac{2}{5}$ ，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 $\frac{7}{20}$ ，为使堂食、外买7月份的营业的之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是．

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三、解答题

13. 某校计划组织学生前往太空中心开展研学活动．该校准备向某客运公司租用A、B两种类型客车，已知每辆A型客车的载客人数比每辆B型客车多10人，如果单独租用A型客车承载90人，与单独租用B型客车承载70人所用车辆数一样多、（特别注明：本题中载客人数不考虑客车司机）

(1)、问每辆A、B型客车分别可载多少人？

(2)、该校共有630名师生，客运公司根据需要，安排了A、B型汽车共16辆，每辆A型客车的租金为1200元，每辆B型客车的租金为1000元，总租金不超过17800元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，费用多少？

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14. 科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为 $ρ_{甲}$ ， $ρ_{乙}$ 的液体混合 $(ρ_{甲} < ρ_{乙})$ ，研究混合物的密度（物体的密度 $=$ 物体的质量的体积．假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为 $ρ_{1}$ ，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为 $ρ_{2}$ ．

(1)、请用含 $ρ_{甲}$ ， $ρ_{乙}$ 式子表示 $ρ_{1}$ ；

(2)、比较 $ρ_{1}$ ， $ρ_{2}$ 的大小，并通过运算说明理由；

(3)、现有密度为 $1.2 g / c m^{3}$ 的盐水 $600 g$ ，加适量的水（密度为 $1.0 g / c m^{3}$ ）进行稀释，问：需要加水多少 $g$ ，才能使密度为 $1.1 g / c m^{3}$ 的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？

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15. 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．

题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法	分析问题	列出方程
解法一	设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量	$\frac{2000}{x} = \frac{1200}{x - 20}$
解法二	设…… 等量关系：甲商品进价-乙商品进价=20	$\frac{2000}{x} - \frac{1200}{x} = 20$

任务：

(1)、解法一所列方程中的x表示，解法二所列方程中的x表示．

A．甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元 C．甲种商品购进x件

(2)、根据以上解法可求出甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件．

(3)、若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，当购进的甲、乙两种商品全部售出后，请求出该商店获得最大的利润W．（利润＝售价－进价）

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四、实践探究题

16. 探索

(1)、如果 $\frac{2 x - 3}{x - 1} = 2 + \frac{n}{x - 1}$ ，则 $n =$ ；

(2)、如果 $\frac{5 x + 3}{x + 2} = 5 - \frac{n}{x + 2}$ ，则 $n =$ ；

(3)、总结如果 $\frac{a x + b}{x + c} = a + \frac{n}{x + c}$ （其中 $a ， b ， c$ 为常数），则 $n =$ ；

(4)、应用若代数式 $\frac{4 x - 3}{x - 1}$ 的值为整数，求满足条件的整数 $x$ 的值．

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17. 先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 $x + \frac{1}{x} = 2 + \frac{1}{2}$ 的解为 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = \frac{1}{2}$ ；

方程 $x + \frac{1}{x} = 3 + \frac{1}{3}$ 的解为 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = \frac{1}{3}$ ；

方程 $x + \frac{1}{x} = 4 + \frac{1}{4}$ 的解为 $x_{1} = 4$ ， $x_{2} = \frac{1}{4}$ ； …

(1)、观察上述方程的解，猜想关于x的方程 $x + \frac{1}{x} = 5 + \frac{1}{5}$ 的解是；

(2)、根据上面的规律，猜想关于x的方程 $x + \frac{1}{x} = a + \frac{1}{a}$ 的解是；

(3)、猜想关于x的方程x− $\frac{1}{x} = 1 \frac{1}{2}$ 的解并验证你的结论；

(4)、在解方程： $y + \frac{y + 2}{y + 1} = \frac{10}{3}$ 时，可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程。

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18. 探索规律：

(1)、直接写出计算结果：
$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)}$ =.

(2)、由(1)的计算过程知， $\frac{1}{n (n + 2)}$ 可变形为.

(3)、运用规律： $\frac{1}{x (x + 3)} + \frac{1}{(x + 3) (x + 6)} +$ $\frac{1}{(x + 6) (x + 9)} = \frac{3}{2 x + 18} .$

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19. “程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．

(1)、判断分式方程 $\frac{1}{1 - x} + 1 = \frac{2}{1 + x}$ 与无理方程 $\sqrt{x^{2} - 2} = \sqrt{2 x + 1}$ 是否是“相似方程”，并说明理由；

(2)、已知关于 $x$ ， $y$ 的方程： $4 x^{2} + 9 y^{2} = 8 - 12 x y$ 和 $2 x + 3 y = 4$ ，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；

(3)、已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程： $y = (k + 1) x - 4$ 和 $x = y + 3 k$ （其中 $k$ 为整数）是“相伴方程”，求 $k$ 的值．

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【培优卷】2024年北师大版数学八（下）5.4分式方程 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

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