【提升卷】2024年北师大版数学八（下）5.3分式的加减法同步练习

试卷更新日期：2024-04-21 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列计算正确的是（　　）

A、 $\frac{b - a}{a - b} = 1$ B、 $1 + \frac{1}{a} = \frac{2}{a}$ C、 $\frac{3 b}{a^{2}} \cdot \frac{a}{3 b} = \frac{1}{a}$ D、 $\frac{0.2 a + b}{0.7 a - b} = \frac{2 a + b}{7 a - b}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $\frac{a}{a - b}$ － $\frac{b}{b - a}$ ＝1 B、 $\frac{m}{a} - \frac{n}{b} = \frac{m - n}{a - b}$ C、 $\frac{b}{a} - \frac{b + 1}{a} = \frac{1}{a}$ D、 $\frac{2}{a - b} - \frac{a + b}{a^{2} - b^{2}} = \frac{1}{a - b}$

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3. 化简（ $\frac{a}{a - 2} - \frac{a}{a + 3}$ ）• $\frac{a^{2} + a - 6}{a}$ 的结果是（）

A、1 B、5 C、2a+1 D、2a+5

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4. 若 $(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) \div \frac{2}{○}$ 的运算结果为整式，则“ $○$ ”中的式子可能为（）

A、 $a - b$ B、 $a + b$ C、 $a b$ D、 $a^{2} - b^{2}$

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5. 小明在化简分式 $\frac{3 n}{m - 2 n} + \frac{2 m - n}{2 n - m}$ 的过程中，因为其中一个步骤的错误，导致化简结果是错误的，小明开始出现错误的那一步是（）
原式 $= \frac{3 n - (2 m - n)}{m - 2 n} \dots ①$
      $= \frac{4 n - 2 m}{m - 2 n} \dots ②$
      $= \frac{2 (2 n - m)}{m - 2 n} \dots ③$
      $= 2 \dots ④$

A、 $①$ B、 $②$ C、 $③$ D、 $④$

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6. 数学课上，老师让计算 $\frac{2 a}{a - b} + \frac{a - 3 b}{a - b}$ ．佳佳的解答如下：
解：原式 $= \frac{2 a + a - 3 b}{a - b}$ ①
$= \frac{3 a - 3 b}{a - b}$ ②
$= \frac{3 (a - b)}{a - b}$ ③
＝3④
对佳佳的每一步运算，依据错误的是（）

A、①：同分母分式的加减法法则 B、②：合并同类项法则 C、③：逆用乘法分配律 D、④：等式的基本性质

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7. 设 $p = \frac{a}{a + 1} - \frac{b}{b + 1}$ ， $q = \frac{1}{a + 1} - \frac{1}{b + 1}$ ，则 $p$ ， $q$ 的关系是（）

A、 $p = q$ B、 $p > q$ C、 $p = - q$ D、 $p < q$

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8. 当 $a = 2023 - b$ 时，计算 $(a - \frac{b^{2}}{a}) \div \frac{a - b}{a}$ 的值为（）

A、2023 B、 $- 2023$ C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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9. 设 $M = \frac{y + 1}{x + 1} ， N = \frac{y}{x}$ ，当 $x > y > 0$ 时， $M$ 和 $N$ 的大小关系是（）

A、 $M > N$ B、 $M = N$ C、 $M < N$ D、不能确定

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10. 甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用 $\frac{1}{2}$ v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（）

A、甲、乙同时到达B地 B、甲先到达B地 C、乙先到达B地 D、谁先到达B地与v有关

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二、填空题

11. 已知 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{x - y}$ ，则代数式 $\frac{2 x}{y} + \frac{y}{2 x}$ 的值为．

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12. 设x ， y均为实数，且 $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{3 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x}} + 2$ ，则 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ 的值为．

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13. 设实数a，b满足 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2$ ，则分式 $\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{a^{2} + 4 a b + b^{2}}$ 的值是．

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14. 已知 $\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$ ，则A^B的值 .

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15. 若 $x = 2023 m + 2023$ ， $y = 2023 m + 2022$ ， $z = 2023 m + 2021$ ，则 $\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - x z}{2}$ 的值为．

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三、计算题

16. 计算：

(1)、 $\frac{a - b}{a + b} \div \frac{a^{2} - a b}{a^{3} - a b^{2}}$ ；

(2)、 $(\frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x}) \cdot \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

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17. 先化简 $(\frac{2 x^{2} + 2 x}{x^{2} - 1} - \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 2 x + 1}) \div \frac{x}{x + 1}$ ，再从 $- 1 ， 1 ， 3$ 中选择一个适当的数作为 $x$ 的值代入求值．

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18. 先化简，再求值： $[(\frac{1}{x - y}) + (\frac{2}{x^{2} - x y})] \div$ $\frac{x + 2}{2 x}$ ，其中 $x ， y$ 满足 $y = \sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - 2 x} + 1$ .

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四、综合题

19. 下面是某同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：
      $(\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}) \div \frac{x}{x - 1}$

      $= [\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{(x - 1) (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}] \div \frac{x}{x - 1}$ ……………………第一步

      $= (\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{x + 1}{x - 1}) \div \frac{x}{x - 1}$ ……………………第二步

      $= \frac{{(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)} \div \frac{x}{x - 1}$ ……………………第三步

      $= \frac{x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 1}{x}$ ……………………第四步

      $= \frac{2}{x (x + 1)}$ ……………………第五步

      $= \frac{2}{x^{2} + x}$ ……………………第六步

(1)、填空：
①以上化简步骤中第一步将原式中的 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$ 这一项变形为 $\frac{(x - 1) (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ 属于；（填“整式乘法”或“因式分解”）
②以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，其依据是；
③第步开始出现错误，出现错误的具体原因是；

(2)、请直接写出该分式化简后的正确结果．

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20. 阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如： $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 这样的分式就是假分式；再如： $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式，假分数 $\frac{7}{4}$ 可以化成 $1 + \frac{3}{4}$ （即 $1 \frac{3}{4}$ ）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ．
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{5}{x}$ 是（填“真分式”或“假分式”）；假分式 $\frac{x + 5}{x + 2}$ 可化为带分式形式；

(2)、如果分式 $\frac{x - 4}{x - 1}$ 的值为整数，求满足条件的整数x的值；

(3)、若分式 $\frac{3 x^{2} + 8}{x^{2} + 2}$ 的值为m，则m的取值范围是（直接写出结果）

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21. 阅读理解：已知 $x \neq y$ ， $p = x^{2} - y^{2}$ ， $q = 2 x y - 2 y^{2} .$ 试比较 $p$ 与 $q$ 的大小．
想法：求 $p - q .$ 当 $p - q > 0$ ，则 $p > q$ ；当 $p - q < 0$ ，则 $p < q$ ；当 $p - q = 0$ ，则 $p = q$ ．
解： $∵ p - q = (x^{2} - y^{2}) - (2 x y - 2 y^{2}) = x^{2} - 2 x y + y^{2} = (x - y)^{2} > 0$ ， $∴ p > q$ ．
用你学到的方法解决下列问题：

(1)、已知 $- 1 < x < 1$ 且 $x \neq 0$ ， $m = \frac{x}{1 + x}$ ， $n = \frac{x}{1 - x} .$ 试比较 $m$ 与 $n$ 的大小．

(2)、甲、乙两地相距 $s (k m)$ ，小明和小宇同路往返于甲乙两地．小明去时和返回时的速度分别是 $a (k m / h)$ 、 $b (k m / h)$ ， $a \neq b$ ；小宇去时和返回时的速度都是 $\frac{a + b}{2} (k m / h) .$ 请问二者一个来回中，谁用时更短？

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22. 定义：若分式 $A$ 与分式 $B$ 的差等于它们的积，即 $A - B = A B$ ，则称分式 $B$ 是分式 $A$ “友好分式”．
如 $\frac{1}{x + 1}$ 与 $\frac{1}{x + 2}$ ，因为 $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ， $\frac{1}{x + 1} \times \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ，

所以 $\frac{1}{x + 2}$ 是 $\frac{1}{x + 1}$ 的“友好分式”．

(1)、分式 $\frac{2}{2 y + 5}$ $\frac{2}{2 y + 3}$ 分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；

(2)、小明在求分式 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“友好分式”时，用了以下方法：
设 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“友好分式”为 $N$ ，则 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} - N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \times N$ ，
∴ $(\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + 1) N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ ，
∴ $N = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ ．
请你仿照小明的方法求分式 $\frac{x}{x - 3}$ 的“友好分式”．

(3)、①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 $\frac{b}{a x + b}$ 的“友好分式”：．
②若 $\frac{n + 2}{m x + m^{2} + n}$ 是 $\frac{m - 1}{m x + n^{2}}$ 的“友好分式”，则 $m + n$ 的值为．

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【提升卷】2024年北师大版数学八（下）5.3分式的加减法 同步练习

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二、填空题

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