【培优卷】2024年北师大版数学八（下）5.1 认识分式同步练习

试卷更新日期：2024-04-21 类型：同步测试

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一、选择题

1. 分式 $\frac{| x | - 4}{x - 4}$ 的值为 $0$ ，则 $x$ 的值是（）

A、 $0$ B、 $- 4$ C、 $4$ D、 $- 4$ 或 $4$

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2. 把方程 $\frac{x - 1}{0.5} - \frac{0.3 x + 8}{0.7} = 16$ 的分母化成整数，结果应为（）

A、 $\frac{x - 1}{5} - \frac{3 x + 8}{7} = 16$ B、 $\frac{x - 1}{5} - \frac{3 x + 8}{7} = 160$ C、 $\frac{10 x - 10}{5} - \frac{3 x + 80}{7} = 160$ D、 $\frac{10 x - 10}{5} - \frac{3 x + 80}{7} = 16$

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3. 已知分式 $\frac{2 x + b}{x - a}$ （a，b为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（）
x的取值
2
m
$- 2$
分式的值
0
3
无解

A、 $b = - 4$ ； B、 $a = 2$ ； C、 $m = - 10$ ； D、 $a = - 2$ .

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4. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（）（填序号即可）．
$① \frac{x - 1}{x^{2} + 1} ； ② \frac{a - 2 b}{a^{2} - b^{2}} ； ③ \frac{x + y}{x^{2} - y^{2}} ； ④ \frac{a^{2} - b^{2}}{{(a + b)}^{2}} .$

A、① B、② C、③ D、④

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5. 下列结论：①无论a为何实数， $\frac{a}{a^{2} + 1}$ 都有意义；②当 $a = - 1$ 时，分式 $\frac{a + 1}{a^{2} - 1}$ 的值为0；③若 $\frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ 的值为负，则x的取值范围是 $x < 1$ ； ④若 $\frac{x + 1}{x + 2} \div \frac{x + 1}{x}$ 有意义，则x的取值范围是 $x \neq - 2$ 且 $x \neq 0$ .其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知三个数 $a ， b ， c$ 满足 $\frac{a b}{a + b} = \frac{1}{5}$ ， $\frac{b c}{b + c} = \frac{1}{6}$ ， $\frac{c a}{c + a} = \frac{1}{7}$ ，则 $\frac{a b c}{a b + b c + c a}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{20}$

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7. 对于非负整数x，使得 $\frac{x^{2} + 3}{x + 3}$ 是一个正整数，则符合条件x的个数有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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8. 若 $\frac{1}{2 y^{2} + 3 y + 7}$ 的值为 $\frac{1}{8}$ ,则 $\frac{1}{4 y^{2} + 6 y - 9}$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{17}$ C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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二、填空题

9. 已知 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 4 ，$ 则 $\frac{a - 2 a b - b}{2 a - 2 b + 7 a b}$ 的值为.

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10. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数化为整数：

(1)、 $\frac{0.2 x + y}{0.2 x - \frac{1}{2} y}$ =.

(2)、 $\frac{\frac{1}{3} x + \frac{1}{4} y}{\frac{1}{2} x - \frac{1}{3} y}$ =.

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11. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = 2$ ，且 $b + d + f \neq 0$ ，若 $a + c + e = 10$ ，则 $b + d + f =$ ．

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12. 若 $a^{3} + 3 a^{2} + a = 0$ ，则 $\frac{2022 a^{2}}{a^{4} + 2015 a^{2} + 1} =$ ．

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13. 阅读下面的材料，并解答问题：
分式 $\frac{2 x + 8}{x + 2}$ （ $x \geq 0$ ）的最大值是多少？

解： $\frac{2 x + 8}{x + 2} = \frac{2 x + 4 + 4}{x + 2} = \frac{2 (x + 2)}{x + 2} + \frac{4}{x + 2} = 2 + \frac{4}{x + 2}$ ，

因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以 $\frac{1}{x + 2}$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$ ，所以 $2 + \frac{4}{x + 2}$ 的最大值是4，即 $\frac{2 x + 8}{x + 2}$ （x≥0）的最大值是4．

根据上述方法，试求分式 $\frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ 的最大值是.

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三、综合题

14. 在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如 $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ ；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如 $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ ．

(1)、现有以下代数式：① $\frac{4}{2 - m}$ ， ② $\frac{m^{2} - 1}{3 m + 2}$ ， ③ $\frac{m - 1}{2}$ ， ④ $\frac{m - 1}{2 + m^{2}}$ ．其中是“真分式”的为；是“假分式”的为（注：填写序号即可）

(2)、若分式 $\frac{3}{2 m + 1}$ 的值为整数，求出整数m的值；

(3)、我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如： $\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3}$ ．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和．
例如： $\frac{x}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 1}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$ ；
$\frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ．
请解决以下问题：若分式 $\frac{2 m^{2} - m - 1}{m + 1}$ 的值为整数，求出整数m的值．

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15. 阅读下面的解题过程：
已知 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值．
解：由已知可得 $x \neq 0$ ，则 $\frac{x^{2} + 1}{x} = 3$ ，即 $x + \frac{1}{x} = 3$ ．
$∵ \frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 7$ ，
$∴ \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} = \frac{1}{7}$ ．
上面材料中的解法叫做“倒数法”．
请你利用“倒数法”解下面的题目：

(1)、已知 $\frac{x}{x^{2} - 3 x + 1} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$ 的值；

(2)、已知 $\frac{x y}{x + y} = 3$ ， $\frac{x z}{x + z} = \frac{4}{3}$ ， $\frac{y z}{y + z} = 1$ ，求 $\frac{x y z}{x y + x z + y z}$ 的值．

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x的取值	2	m	$- 2$
分式的值	0	3	无解

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三、综合题

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