2024年北师大版数学中考仿真模拟试题（五）

试卷更新日期：2024-04-19 类型：中考模拟

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一、选择题（每题4分，共40分）

1. 河湟剪纸被列入青海省第三批省级非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化，创造出独具高原特色的剪纸.以下剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列事件中，是必然事件的是（）

A、任意画一个三角形，其内角和是 $18 0^{∘}$ B、任意买一张电影票，座位号是单号 C、掷一次骰子，向上一面的点数是3 D、射击运动员射击一次，命中靶心

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3. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ ，配方后得到的方程是（）

A、 ${(x + 6)}^{2} = 28$ B、 ${(x - 6)}^{2} = 28$ C、 ${(x + 3)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 1$

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4. 如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（）．

A、1 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{9}$

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5. 在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（）

A、 $m (\cos α - \sin α)$ B、 $m (\sin α - \cos α)$ C、 $m (\cos α - \tan α)$ D、 $\frac{m}{\sin α} - \frac{m}{\cos α}$

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7. 如图，等圆 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 相交于A ， B两点， $⊙ O_{1}$ 经过 $⊙ O_{2}$ 的圆心 $O_{2}$ ，若 $O_{1} O_{2} = 2$ ，则图中阴影部分的面积为（　　）

A、 $2 π$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、 $π$ D、 $\frac{2}{3} π$

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8. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在 $A B$ 上，且 $A D = \frac{1}{4} A B$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象经过点D及矩形 $O A B C$ 的对称中心M，连接 $O D ， O M ， D M$ ．若 $△ O D M$ 的面积为3，则k的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG＝3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（　　）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 如图，已知开口向下的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $(6 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ．则下列结论正确的有（）
① $a b c < 0$ ；

② $a - b + c > 0$ ；

③方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的两个根为 $x_{1} = \frac{1}{2} ， x_{2} = - \frac{1}{6}$ ；

④抛物线上有两点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 和 $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $x_{1} < 2 < x_{2}$ 且 $x_{1} + x_{2} > 4$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 将一个三角尺 $(∠ A = 30 °)$ 按如图所示的位置摆放，直线 $a ∥ b$ ，若 $∠ A B D = 20 °$ ，则 $∠ α$ 的度数是．

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12. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D = 60 °$ ．以点 $B$ 为圆心，以 $B A$ 的长为半径作弧交边 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ．分别以点 $A ， E$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A E$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $B P$ 交 $A E$ 于点 $O$ ，交边 $A D$ 于点 $F$ ，则 $\frac{O F}{O E}$ 的值为．

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13. $2023$ 年5月8日， $C 919$ 商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步． $12$ 时 $31$ 分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为 $80$ 米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面 $20$ 米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退 $10$ 米，两条水柱的形状及喷水口 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点 $H^{'}$ 距地面米．

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14. 若关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x + 3}{2} \leq 4 \\ 2 x - a \geq 2 \end{array}$ ，至少有2个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{a - 1}{y - 2} + \frac{4}{2 - y} = 2$ 有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．

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15. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ，点E在边 $A D$ 上，且 $A D = 4 A E$ ，点P为边 $A B$ 上的动点，连接 $P E$ ，过点E作 $E F ⊥ P E$ ，交射线 $B C$ 于点F ，则 $\frac{E F}{P E} =$ ．若点M是线段 $E F$ 的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为．

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16. 如图，在直角坐标系中， $⊙ A$ 与 $x$ 轴相切于点 $B ， C B$ 为 $⊙ A$ 的直径，点 $C$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上， $D$ 为 $y$ 轴上一点， $△ A C D$ 的面积为6，则 $k$ 的值为．

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三、解答题（共10题，共86分）

17. 计算：（ $\frac{1}{2}$ ）^﹣²+（π﹣3.14）⁰﹣| $\sqrt{3} - 2$ |﹣2cos30°．

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18. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - 6 a + 9}{a - 2} \div (a + 2 + \frac{5}{2 - a})$ ，其中 $a$ 是使不等式 $\frac{a - 1}{2} \leq 1$ 成立的正整数．

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19. 教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC， $∠ B A C = 90 °$ ．黑板上投影图像的高度 $A B = 120 c m$ ， CB与AB的夹角 $∠ B = 33.7 °$ ，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据： $s i n 33.7 ° \approx 0.55$ ， $c o s 33.7 ° \approx 0.83$ ， $t a n 33.7 ° \approx 0.67$ ）

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20.
如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(−2，−2)，B(−4，−1），C(−4，−4)．

(1)、作出 $Δ$ ABC关于原点O成中心对称的 $Δ$ A₁B₁C₁.

(2)、作出点A关于x轴的对称点A'.若把点A'向右平移a个单位长度后落在 $Δ$ A₁B₁C₁的内部（不包括顶点和边界），求a的取值范围.

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21. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：

(1)、a＝， b＝，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为度；

(2)、本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，O为坐标原点，直线 $y = x + 2$ 交y轴于点A ，交x轴于点B ，与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在一，三象限分别交于C ， D两点， $A B = \frac{1}{2} B C$ ，连接 $C O$ ， $D O$ ．

(1)、求k的值；

(2)、求 $△ C D O$ 的面积．

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23. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $B D .$ 若 $∠ E A D + ∠ B D F = 180 °$ ．

(1)、求证： $E F$ 为 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $B E = 10$ ， $s i n ∠ B D C = \frac{2}{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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24. 湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 $20000$ $kg$ 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养 $10$ 天的总成本为 $30.4$ 万元；放养 $20$ 天的总成本为 $30.8$ 万元（总成本=放养总费用+收购成本）．

(1)、设每天的放养费用是 $a$ 万元，收购成本为 $b$ 万元，求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、
设这批淡水鱼放养 $t$ 天后的质量为 $m$ （ $kg$ ），销售单价为 $y$ 元/ $kg$ ．根据以往经验可知： $m$ 与 $t$ 的函数关系为 $m = {\begin{cases} 20000 (0 \leq t \leq 50) \\ 100 t + 15000 (50 < t \leq 100) \end{cases}$ ； $y$ 与 $t$ 的函数关系如图所示．
①分别求出当 $0 \leq t \leq 50$ 和 $50 < t \leq 100$ 时， $y$ 与 $t$ 的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养 $t$ 天后一次性出售所得利润为 $W$ 元，求当 $t$ 为何值时， $W$ 最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）

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25. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，将射线 $A E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转90°，交 $C D$ 延长线于点 $G$ ，以线段 $A E$ ， $A G$ 为邻边作矩形 $A E F G$ ．

(1)、如图1，连接 $B D$ ，求 $∠ B D C$ 的度数和 $\frac{D G}{B E}$ 的值；

(2)、如图2，当点 $F$ 在射线 $B D$ 上时，求线段 $B E$ 的长；

(3)、如图3，当 $E A = E C$ 时，在平面内有一动点 $P$ ，满足 $P E = E F$ ，连接 $P A$ ， $P C$ ，求 $P A + P C$ 的最小值．

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26. 如图，抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $A (- 6 ， 0)$ ， $B (- 2 ， 0)$ ， $C (0 ， 6)$ 三点，且一次函数 $y = k x + 6$ 的图象经过点B.

(1)、求抛物线和一次函数的解析式.

(2)、点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧.这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由.

(3)、将抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 的图象向右平移8个单位长度得到抛物线 $y_{2}$ ，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）.点P是抛物线 $y_{2}$ 上的一个动点且在直线 $N C$ 下方.已知点P的横坐标为m.过点P作 $P D ⊥ N C$ 于点D.求m为何值时， $C D + \frac{1}{2} P D$ 有最大值，最大值是多少？

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