广东省揭阳市揭东区白塔镇2024年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2024-04-19 类型：中考模拟

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）

A、小明的影子比小强的影子长 B、小明的影子比小强的影子短 C、小明的影子和小强的影子一样长 D、无法判断谁的影子长

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2. 若点 $A (x_{1}, - 5)$ ， $B (x_{2}, 2)$ ， $C (x_{3}, 5)$ 都在反比例函数 $y = \frac{10}{x}$ 的图象上，则 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 的大小关系是( )

A、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ B、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$ C、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ D、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$

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3. 抛物线 $y = (x + 2)^{2} + 1$ 是由抛物线 $y = x^{2} + 1$ 经过某种平移得到，则这个平移可以表述为( )

A、向左平移 $1$ 个单位 B、向左平移 $2$ 个单位 C、向右平移 $1$ 个单位 D、向右平移 $2$ 个单位

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4. 如图，点 $A ， B ， C ， D ， E$ 在 $⊙ O$ 上， $A B = C D ， ∠ A O B = 42 °$ ，则 $∠ C E D =$ （）

A、48° B、24° C、22° D、21°

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5. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 13$ ， $A C = 5$ ，则 $c o s B$ 的值为( )

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{12}{13}$

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6. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $A F ⊥ D E$ 于点 $O$ ，则 $\frac{A O}{D O}$ 等于( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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7. 如图，点 $A$ 在双曲线 $y_{1} = \frac{2}{x} (x > 0)$ 上，点 $B$ 在双曲线 $y_{2} = \frac{k}{x} (x < 0)$ 上， $A B / / x$ 轴，点 $C$ 是 $x$ 轴上一点，连接 $A C$ 、 $B C$ ，若 $△ A B C$ 的面积是 $6$ ，则 $k$ 的值( )

A、 $- 6$ B、 $- 8$ C、 $- 10$ D、 $- 12$

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8. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的解为( )

A、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 3$ C、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = - 3$

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9. 如图，在直角坐标系中，点 $A$ 在第一象限内，点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴上，以点 $O$ 为位似中心，在第三象限内作与 $△ O A B$ 的位似比为 $\frac{1}{3}$ 的位似图形 $△ O C D .$ 若点 $C$ 的坐标为 $(- 1, - \frac{2}{3})$ ，则点 $A$ 的坐标为( )

A、 $(\frac{2}{3}, 2)$ B、 $(2,3)$ C、 $(3, \frac{2}{3})$ D、 $(3,2)$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $c$ 的值为．

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11. 已知反比例函数 $y = \frac{k - 1}{x} (k$ 是常数， $k \neq 1)$ 的图象有一支在第二象限，那么 $k$ 的取值范围是．

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12. 甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是．

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 边上一点， $∠ A E D = 90 ° ， ∠ E A D = 30 ° ， F$ 是 $A D$ 边的中点， $E F = 4 cm$ ，则 $B E =$ $cm$ .

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14.
如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．

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15. 如图，在 $⊙ O$ 中， $\overset{⏜}{A B} = \overset{⏜}{C D}$ ，则下列结论中： $① A B = C D$ ； $② A C = B D$ ； $③ ∠ A O C = ∠ B O D$ ； $④ \overset{⏜}{A C} = \overset{⏜}{B D}$ ，正确的是 $($ 填序号 $)$ ．

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三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. 计算： $(x - \sqrt{3})^{0} + (\frac{1}{2})^{- 1} - \frac{2}{\sqrt{3} - 1} - t a n 60 ° + \sqrt{12}$

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17. 四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于 $O$ ， $A B = 5$ ， $A O = 4$ ，求 $B D$ 的长．

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18. 如图， $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 中， $∠ C = ∠ E$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，求证： $△ A B C$ ∽ $△ A D E$ ．

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19. 抛物线顶点坐标是 $(2, - 1)$ 且经过点 $C (5,8)$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、求该抛物线与坐标轴的交点坐标．

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20. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，半径 $O D ⊥ A B$ ，垂足为 $C$ ，点 $E$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $O A$ ， $D E$ ， $B E$ ．

(1)、若 $∠ D E B = 30 °$ ，求 $∠ A O D$ 的度数；

(2)、若 $C D = 2$ ， $A B = 8$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

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21. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 $4 m$ ，跨度为 $10 m$ ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．

(1)、求这条抛物线所对应的函数关系式．

(2)、如图，在对称轴右边 $1 m$ 处，桥洞离水面的高是多少？

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22. 在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．

(1)、若丝绸花边的面积为650cm² ，求丝绸花边的宽度；

(2)、已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？

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23. 如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O外一点，AB＝AD，BD交⊙O于点C，AD交⊙O于点E，点P是AC的延长线上一点，连接PB、PD，且PD⊥AD

(1)、判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)、连接CE，若CE＝3，AE＝7，求⊙O的半径.

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24. 如图， $R t △ A B O$ 的两直角边 $O A$ 、 $O B$ 分别在 $x$ 轴的负半轴和 $y$ 轴的正半轴上， $O$ 为坐标原点， $A$ 、 $B$ 两点的坐标分别为 $(- 3,0)$ 、 $(0,4)$ ，抛物线 $y = \frac{2}{3} x^{2} + b x + c$ 经过 $B$ 点，且顶点在直线 $x = \frac{5}{2}$ 上．

(1)、求抛物线对应的函数关系式；

(2)、若 $△ D C E$ 是由 $△ A B O$ 沿 $x$ 轴向右平移得到的，当四边形 $A B C D$ 是菱形时，试判断点 $C$ 和点 $D$ 是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)、在 $(2)$ 的前提下，若 $M$ 点是 $C D$ 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 $M$ 作 $M N$ 平行于 $y$ 轴交 $C D$ 于点 $N .$ 设点 $M$ 的横坐标为 $t$ ， $M N$ 的长度为 $l .$ 求 $l$ 与 $t$ 之间的函数关系式，并求 $l$ 取最大值时，点 $M$ 的坐标．

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