广东省佛山市顺德区2023-2024学年八年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2024-04-19 类型：期中考试

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一、选择题（10个题，每题3分，共30分）

1. 若 $x > y$ ，则下列式子中错误的是（）

A、 $\frac{x}{2} > \frac{y}{2}$ B、 $- 2 x > - 2 y$ C、 $x - 2 > y - 2$ D、 $x + 3 > y + 3$

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2. 已知等腰三角形的一边长为2，一边的长为6，则此等腰三角形的周长为（）

A、14 B、12 C、10 D、10或14

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3. 不等式 $2 x + 1 \geq x$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， CD是AB边上的高线，若 $∠ A = 42 °$ ，则 $∠ D C B$ 的度数为（）

A、21° B、22° C、23° D、24°

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5. 如图， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ， $C D = E F$ ．要根据 $H L$ 证明 $R t △ A C D ≌ R t △ B E F$ ，则还需要添加的条件是（）

A、 $∠ A = ∠ B$ B、 $∠ C = ∠ E$ C、 $A D = B F$ D、 $A C = B E$

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6. 关于x的方程 $x - 4 = - 2 a$ 解为正数，则实数a的取值范围是（）

A、 $a < 2$ B、 $a > 2$ C、 $a < 1$ D、 $a > 0$

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7. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $A C = 9$ ， BD、CD分别平分 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ ，过点D作直线平行于BC ，交AB、AC于E、F ，则 $△ A E F$ 的周长为（）

A、16 B、17 C、18 D、19

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8. 某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分，得分超过85分可以获一等奖．小锋在本次竞赛中获得了一等奖，假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式（）

A、 $5 x + (20 - x) \geq 85$ B、 $5 x + (20 - x) > 85$ C、 $5 x - (20 - x) > 85$ D、 $5 x - (20 - x) \geq 85$

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9. 用反证法证明命题“已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，则 $∠ B < 90 °$ ”时，首先应该假设（）

A、 $∠ B \geq 90 °$ B、 $∠ B > 90 °$ C、 $A B \neq A C$ D、 $A B \neq A C$ 且 $∠ B \geq 90 °$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， AB的垂直平分线交AC于点D ，交AB于点E ， $A C = 6$ ，则CD的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（5个题，每题3分，共15分）

11. y与4的差不小于1，用不等式表示为．

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12. 命题“对顶角相等”的逆命题是

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， AD平分 $∠ B A C$ 交BC于点D ，若 $B D = 3$ ，则点D到边AC的距离DE的长为．

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14. 若点 $P (4 - m, m - 2)$ 在第二象限，则m的取值范围是．

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15. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 (x + 1) < 3 x - 6 \\ x < 4 m \end{array}$ 无解，则m的取值范围是．

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三、解答题（8个题，共75分）

16. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 4 < 0, & ① \\ \frac{x - 1}{2} < x & ② \end{array}$

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17. 已知：如图，BD、CE是 $△ A B C$ 的高，且 $B E = C D$ ．求证： $A B = A C$ ．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、尺规作图：作边AB的垂直平分线，交BC与点D ，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、若 $∠ A B C = 38 °$ ，求 $∠ C A D$ 的度数．

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19. 为加强学生安全教育，某学校组织了“安全教育”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买3副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需140元；购买2副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需210元．

(1)、求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；

(2)、若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且总费用不超过1100元，求至少购买多少副乒乓球拍．

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20. 已知，如图， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， AD是 $△ A B C$ 的角平分线．

(1)、求证： $B D = 2 C D$ ；

(2)、若 $C D = 2$ ，求 $△ A B D$ 的面积．

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21. 已知一次函数 $y_{1} = 2 x - a$ ， $y_{2} = x - 2 b$ ．

(1)、若关于x的方程 $y_{1} + 2 a = 3$ 的解为负数，求a的取值范围；

(2)、若关于x的不等式组 ${\begin{cases} y_{1} > 1 \\ y_{2} < 3 \end{cases}$ 的解集为 $3 < x < 15$ ，求 $(a + 1) (b + 1)$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若等腰三角形的两边分别为a和b ，直接写出该三角形的面积是．

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22. 一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过点 $A (- 2, 0)$ 、 $B (- 1, 1)$ ，与y轴相交于点D ，且和一次函数 $y = - 2 x + a$ 的图象交于点C ，如图所示．

(1)、填空：不等式 $k x + b > 0$ 的解集是．

(2)、若点C的横坐标是1，请完成下面的问题：
①填空：不等式 $k x + b < - 2 x + a$ 的解集是．
②求a的值．
③把直线AC绕点D顺时针旋转30°交x轴于点E ，求线段AE的长．

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23. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， M为AB中点，D为射线AB上一动点．

(1)、连接CM ，求证： $△ C A M$ 是等边三角形．

(2)、当点D在线段AM上（如图1所示的位置）．
①尺规作图：连接CD ，在CD右侧作等边 $△ C D E$ ，直线DE与直线CB交于点F ．（不写作法，保留作图痕迹）
②连接BE ，在①的条件下，求证： $C E = B E$ ．

(3)、点D在射线AB运动的过程中，当 $△ B E F$ 为等腰三角形时，请求出 $∠ A B E$ 的度数．

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