广东省惠州市惠阳区第一中学2023-2024学年八年级下学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2024-04-19 类型：月考试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列式子中，不是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{- 3}$ D、 $\sqrt{0}$

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2. 下列二次根式中，最简二次根式是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{0.2}$

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3. 下列运算，结果正确的是（）

A、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ B、 $3 + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6} \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = 3$

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4. 下列各组数是勾股数的是（）

A、2，3，4 B、3，4，6 C、6，8，10 D、4，6，7

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5. 如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面 $3 m$ 处折断，树顶端落在离树底部 $4 m$ 处，则树折断之前高（）

A、 $7 m$ B、 $8 m$ C、 $9 m$ D、 $10 m$

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6. 如图，将平行四边形 $A B C D$ 的一边 $B C$ 延长至点E，若 $∠ A = 115 °$ ，则 $∠ 1 =$ （）

A、115° B、75° C、65° D、55°

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7. 已知平行四边形 $A B C D$ 的两对角线相交于点 $O$ ， $△ A O B$ 的面积是3，则平行四边形 $A B C D$ 的面积是（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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8. 已知 $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 8$ ，则 $x y$ 的值为（）

A、3 B、8 C、24 D、11

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9. 如图所示，一轮船以3海里/时的速度从港口 $A$ 出发向东北方向航行，另一轮船以4海里/时的速度同时从港口 $A$ 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）海里．

A、25 B、15 C、10 D、40

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10. 如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为 $5$ 厘米、 $3$ 厘米、 $10$ 厘米，在长方体一底面的顶点 $A$ 有一只蚂蚁，它想吃点 $B$ 处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（）

A、 $13$ 厘米 B、 $2 \sqrt{41}$ 厘米 C、 $3 \sqrt{26}$ 厘米 D、 $\sqrt{194}$ 厘米

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二、填空题（每小题4分，共24分）

11. 若式子 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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12. 比较大小，用“ $>$ ”或“ $<$ ”符号连接： $\sqrt{3}$ $\sqrt{5}$ ， $2 \sqrt{6}$ $3 \sqrt{3}$ ．

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13. 若 ${(a + 3)}^{2} + \sqrt{b - 2} = 0$ ，则 ${(a + b)}^{2} =$ ．

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14. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 3$ ， $A D = 5$ ，则 $A O$ 的长是．

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15. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣2|+ $\sqrt{(a - 1)^{2}}$ 的结果为．

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16. 如图，长方形 $A B C D$ 的顶点A ， B在数轴上，点A表示 $- 1, A B = 3, A D = 1$ ．若以点A为圆心，对角线 $A C$ 长为半径作弧，交数轴正半轴于点M ，则点M所表示的数为．

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三、解答题（一）（每小题6分，共18分）

17. 计算：

(1)、 ${(\sqrt{3})}^{2} - \sqrt{2^{2}} + 1$ ；

(2)、 $\sqrt{72} \times \sqrt{\frac{1}{6}}$ ．

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18. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 13$ ， $A C = 12$ ，求 $B C$ ．

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19. 如图，在平行四边形 $A F C E$ 中， $D ， B$ 分别是 $E C ， A F$ 的中点．求证： $B C = A D$ ．

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四、解答题（二）（每小题7分，共21分）

20. 已知 $a = 2 - \sqrt{3}$ ， $b = 2 + \sqrt{3}$ ，求下列各式的值．

(1)、 $a^{2} - b^{2}$ ；

(2)、 $a^{2} b - a b^{2}$ ．

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21. 如图：在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $C D = 12$ ， $A D = 13$ ．

(1)、试判断 $△ A C D$ 的形状，并说明理由；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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22. 如图，四边形ABCD中， AB∥CD ， AC与BD相交于点O，AO=CO ．

(1)、求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)、若AC⊥BD ， AB=10 ，求BC的长．

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五、解答题．（三）（每小题9分，共27分）

23. 在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的顶点坐标分别是： $A (0, 3)$ ， $B (3, 4)$ ， $C (3, 0)$ ．

(1)、在平面直角坐标系中描出各点，画出 $△ A B C$ ；

(2)、在 $y$ 轴上找一点 $P$ ，使的值最小，则 $P B + P C$ 的最小值为，点 $P$ 的坐标是．

(3)、点 $F$ 在 $y$ 轴上，且 $△ A B F$ 的面积等于 $△ A B C$ 的面积，求点 $F$ 的坐标．

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24. 阅读材料，解答下列问题：
①两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如： $\sqrt{a}$ 与 $\sqrt{a}$ ， $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ ．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
将 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$ ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．

(1)、请你写出 $3 + 2 \sqrt{7}$ 的有理化因式：．

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2019} + \sqrt{2017}}$ ．

(3)、已知 $\sqrt{15 + x^{2}} - \sqrt{26 - x^{2}} = 1$ ，求 $\sqrt{15 + x^{2}} + \sqrt{26 - x^{2}}$ 的值．

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25. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 3$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A D$ 以每秒个单位长度的速度向终点 $D$ 运动．连接 $P O$ 并延长交 $B C$ 于点 $Q$ ，设点 $P$ 的运动时间为秒．

(1)、 $B Q =$ （用含的代数式表示）；当 $t =$ 时，四边形 $A B Q P$ 是平行四边形．

(2)、点 $P$ 的运动过程中，当为何值时， $△ A P O$ 是直角三边形？

(3)、点 $P$ 的运动过程中，当为何值时， $△ A P O$ 是等腰三边形？

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