浙江省杭州市锦绣育才教育集团2024年中考二模数学试卷

试卷更新日期：2024-04-19 类型：中考模拟

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一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）

1. 神舟十七号成功发射，太空空间站距离地球约为423000m，423000用科学记数法可表示为（）

A、 $423 \times 1 0^{3}$ B、 $42.3 \times 1 0^{4}$ C、 $4.23 \times 1 0^{5}$ D、 $0.423 \times 1 0^{6}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{2} - x = x$ B、 $x \cdot x^{3} = x^{4}$ C、 $x^{6} \div x^{2} = x^{3}$ D、 ${(2 x y^{2})}^{3} = 6 x^{3} y^{5}$

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3. 全运会颁奖台如图所示，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在一个不透明的袋子装有4个红球，8个白球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球为白球的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 分式 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ 的值，可以等于（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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6. 若点 $P (x - 4 ， 2 x + 6)$ 在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O ， A C ⊥ B D ， A B = C D$ ．若 $∠ B O C = 120 °$ ，则 $∠ A C O$ 的度数为（）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $20 °$ D、 $30 °$

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8. 二次函数 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的图象经过 $(0, 4), (8, 5)$ 两点，若 $a > 0 ， 0 < h < 8$ ，则h的值可能为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 某数学小组在研究了函数y₁=x与y₂＝ $\frac{4}{x}$ 性质的基础上，进一步探究函数y=y₁＋y₂的性质，经过讨论得到以下几个结论：①函数y=y₁＋y₂的图象与直线y=3没有交点；②函数y=y₁＋y₂的图象与直线y=a只有一个交点，则a=±4；③点（a，b）在函数y=y₁＋y₂的图象上，则点（－a，－b）也在函数y=y₁＋y₂的图象上．以上结论正确的是（）

A、①② B、①②③ C、②③ D、①③

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10. 如图，已知正方形 $A B C D$ 和正方形 $B E F G$ ，且A、B、E三点在一条直线上，连接 $C E$ ，以 $C E$ 为边构造正方形 $C P Q E ， P Q$ 交 $A B$ 于点M ，连接 $C M$ ，设 $∠ A P M = α ， ∠ B C M = β$ ．若点Q、B、F三点共线， $t a n α = n t a n β$ ，则n的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{6}{7}$

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二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

11. 因式分解： $16 x^{2} - 9 =$ ．

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12. 计算： $\sqrt{16} \times \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{8} =$ ．

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13. 如图，将 $▱ A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折叠，使点B落在点 $B^{'}$ 处，若 $∠ 1 = ∠ 2 = 36 °$ ，则 $∠ B =$ ．

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14. 图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘 $A C = B D = 64 c m$ ，且与闸机侧立面夹角 $∠ P C A = ∠ B D Q = 30 °$ ．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 $c m$ ．

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15. 如图，矩形 $A B C D$ 的顶点D在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上，顶点B ， C在x轴上，对角线 $A C$ 的延长线交y轴于点E ，连接 $B E$ ，若 $△ B C E$ 的面积是2，则k的值为．

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16. 如图1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，E是 $O A$ 的中点， $O A = 2$ ，过点E作 $C D ⊥ A B$ 交 $⊙ O$ 于C、D两点．

(1)、 $\overset{⌢}{B C}$ 的度数为；

(2)、如图2，P点为劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上一个动点（不与B、C重合），连接 $A P 、 C P$ ，点Q在 $A P$ 上，若 $A Q = x$ 时， $C Q$ 平分 $∠ P C D$ ，则x的值为．

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三、解答题（本题有8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 圆圆和方方在做一道练习题：已知 $0 < a < b$ ，试比较 $\frac{a}{b}$ 与 $\frac{a + 1}{b + 1}$ 的大小．
圆圆说：“当 $a = 1 ， b = 2$ 时，有 $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{a + 1}{b + 1} = \frac{2}{3}$ ；因为 $\frac{1}{2} < \frac{2}{3}$ ，所以 $\frac{a}{b} < \frac{a + 1}{b + 1}$ ”．
方方说：“圆圆的做法不正确，因为 $a = 1 ， b = 2$ 只是一个特例，不具一般性．可以……”请你将方方的做法补充完整．

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18. 2024年3月22日是第32届世界水日，为了解同学们对节约和保护水资源知识的掌握情况，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校1200名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．
请根据统计图回答下列问题：

(1)、补全上面不完整的条形统计图．

(2)、直接写出这些学生成绩的中位数和众数．

(3)、根据比赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校1200名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是多少？

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19. 某同学尝试在已知的 $▱ A B C D$ 中利用尺规作出一个菱形，如图所示．

(1)、根据作图痕迹，能确定四边形 $A E C F$ 是菱形吗？请说明理由．

(2)、若 $∠ B = 60 °$ ， $B A = 2$ ， $B C = 4$ ，求四边形 $A E C F$ 的面积．

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20. 小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：

(1)、当 $0 \leq x \leq 10$ 时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；

(2)、求图中t的值；

(3)、若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？

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21. 如图， $△ A B C ， A B = A C$ ，点E在 $B C$ 边上，以 $A E$ 为斜边，在 $A E$ 上方作 $R t △ A E F$ ，使 $∠ E A F = ∠ A B C$ ，延长 $C F$ 与 $B A$ 交于点G ．

(1)、当 $∠ A B C = 45 °$ 时，若 $C E = 1 ， B E = 3$ ，求线段 $A F$ 的长．

(2)、求证：点F为线段 $C G$ 的中点．

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22. 如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔 $A B$ 所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下， $A B$ 在地面上形成的影子为 $C D$ （不计折射）， $A B ∥ C D$ ．

(1)、在桌面上沿着 $A B$ 方向平移铅笔，试说明 $C D$ 的长度不变．

(2)、桌面上一点P恰在点O的正下方，且 $O P = 36 c m$ ， $P A = 18 c m$ ， $A B = 18 c m$ ，桌面的高度为 $60 c m$ ．在点O与 $A B$ 所确定的平面内，将 $A B$ 绕点A旋转，使得 $C D$ 的长度最大．
①画出此时 $A B$ 所在位置的示意图；
② $C D$ 的长度的最大值为 ▲ cm．

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23. 已知二次函数 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 的图象经过原点O和点 $A (8 + t ， 0)$ ，其中 $t \geq 0$ ．

(1)、当 $t = 0$ 时
①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？
②当 $x = m$ 和 $x = n$ 时（ $m \neq n$ ），函数值相等，求m ， n之间的关系式．

(2)、当 $t > 0$ 时，在 $0 \leq x \leq 8$ 范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由．

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24. 如图，在半径为3的 $⊙ O$ 作内接矩形 $A B C D$ ，点E是弦 $B C$ 的中点， $B C = 4$ ，连结 $A E$ 并延长交 $⊙ O$ 于点F ，点G是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连结 $C G$ 分别交 $A B 、 A F$ 于点H、点P ．

(1)、证明： $\frac{A H}{C H} = \frac{G H}{B H}$ ；

(2)、求 $B H$ 的长；

(3)、若存在一个实数m ，使得 $t a n ∠ A P H = m B H$ ，试求出m的值．

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