广东省阳江市2024年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2024-04-19 类型：中考模拟

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列实数中，最大的是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、0 D、 $| - 3 |$

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2. 剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 机器人的研发是当今时代研究的重点．中国科学院宁波材料技术与工程研究所研发的新型 $D N A$ 工业纳米机器人，其大小仅约100纳米．已知1纳米 $= 1 0^{- 9}$ 米，则100纳米用科学记数法表示为（）

A、 $- 1 \times 1 0^{7}$ 米 B、 $1 \times 1 0^{- 8}$ 米 C、 $1 \times 1 0^{- 7}$ 米 D、 $1 \times 1 0^{- 11}$ 米

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{6} = a^{18}$ B、 $(- 2 a)^{3} = - 8 a^{3}$ C、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ D、 $(a - 1)^{2} = a^{2} - 1$

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5. 在平面直角坐标系中，点 $M (3, - 1)$ 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的点的坐标是（）

A、 $(0, - 3)$ B、 $(6, 1)$ C、 $(6, - 3)$ D、 $(0, 1)$

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6. 下列图形中不是正方体的表面展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若扇形的半径为3，圆心角为 $60 °$ ，则此扇形的弧长是（）

A、 $\frac{1}{2} π$ B、 $\frac{3}{2} π$ C、 $π$ D、 $2 π$

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8. 小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转 $θ$ ，接着沿直线前进6米后，再向左转 $θ$ ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了72米，则 $θ$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $36 °$ C、 $60 °$ D、 $72 °$

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9. 已知 $x^{2} + 2 x - 2 = 0$ ，计算 $(1 - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{3} - x}$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、1 C、3 D、 $- \frac{1}{2}$

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10. 如题图，在矩形 $A B C D$ 中，点E在 $D C$ 上，连接 $A E$ ，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 翻折，使点D落在边 $B C$ 上的点F处．若 $A B = 6$ ， $B C = 10$ ，则 $t a n ∠ E A F$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{9}{20}$

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二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．

11. 请写出一个y随x的增大而增大的一次函数的表达式：．

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12. 如题图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果 $∠ 1 = 70 °$ ，那么 $∠ 2$ 的度数是．

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13. 已知 $a + b = 5$ ， $a b = 4$ ，则多项式 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值为．

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14. 某地为了解决市民看病贵的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元．若这种药品平均每次降价的百分率为x ，则可列得方程为．

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15. 如题图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，分别以点A ， B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M ， N ，连接 $M N$ ，与 $A C$ ， $A B$ 分别交于点D ， E ，连接 $B D$ ．若 $∠ A = 15 °$ ， $B D = 2$ ，则 $△ A D B$ 的面积为．

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16. 如题图，点M的坐标为 $(0, 1)$ ，点A的坐标为 $(1, 0)$ ，以点M为圆心， $M A$ 的长为半径作 $⊙ M$ ，与x轴的另一个交点为B ，点C是 $⊙ M$ 上的一个动点，连接 $B C$ ， $A C$ ，点D是 $A C$ 的中点，连接 $O D$ ，则线段 $O D$ 的最大值为．

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三、解答题（一）：本大题共3小题，第17题10分，第18、19题各7分，共24分．

17.

(1)、计算： ${(\sqrt{2} - 1)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} + \sqrt[3]{- 8}$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 2 > 0, \\ 3 (x - 1) - 7 < - 2 x . \end{array}$

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18. 某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造面积的2倍，且甲工程队完成 $400 m^{2}$ 的绿化改造比乙工程队完成 $400 m^{2}$ 的绿化改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积．

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19. 已知某蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位： $Ω$ ）是反比例函数关系，且图象如题图所示．

(1)、求这个反比例函数的解析式；

(2)、如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过 $10 A$ ，求用电器可变电阻的取值范围．

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四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．

20. 为提高学生的国家安全意识，某校九年级举行了国家安全知识竞赛活动．现从参赛学生中分别随机抽取15名男生和15名女生的竞赛成绩作为样本，对样本竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成4个组，A： $60 \leq x < 70$ ；B： $70 \leq x < 80$ ；C： $80 \leq x < 90$ ；D： $90 \leq x \leq 100$ ），得到如题图所示的统计图表．其中女生样本成绩在C组中的数据为85，88，87．
男、女生样本成绩对比统计表
统计量
平均数
中位数
众数
男生
88
89
99
女生
88
a
98

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、若被抽取的15名女生中有且只有1人得最低分，学校准备从样本成绩为70分以下的女生中抽取2人谈话，用列表法或画树状图的方法计算得分最低的女生被抽到的概率．

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21. 如题图，在 $△ A D B$ 中，O是边 $A D$ 上的一点， $⊙ O$ 恰好与边 $A B$ 相切于点B ，与边 $A D$ 交于C ， D两点，连接 $B C$ ．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ A D B$ ；

(2)、若 $A B = 5$ ， $A C = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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22. 题-1图是安装在倾斜屋顶上的热水器，题-2图是安装热水器的侧面示意图．已知屋面 $A E$ 的倾斜角 $∠ E A D$ 为 $22 °$ ，长为 $3 m$ 的真空管 $A B$ 与水平线 $A D$ 的夹角为 $37 °$ ，安装热水器的铁架竖直管 $C E$ 的长度为 $0.5 m$ ．

(1)、求真空管上端B到水平线 $A D$ 的距离；

(2)、求安装热水器的铁架水平横管 $B C$ 的长度．（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $s i n 22 ° \approx \frac{3}{8}$ ， $c o s 22 ° \approx \frac{15}{16}$ ， $t a n 22 ° \approx 0.4$ ，结果精确到 $0.1 m$ )

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五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．

23. 综合探究
在边长为5的正方形 $A B C D$ 中，点E是线段 $B C$ 上一动点，连接 $A E$ ，以 $A E$ 为边在直线 $A E$ 右侧作正方形 $A E F G$ ．

(1)、如题-1图，若EF与CD交于点H ，且 $∠ E H D = 125 °$ ，求 $∠ B A G$ 的度数；

(2)、在（1）的条件下，连接 $D G$ ，求证：C ， D ， G三点共线；

(3)、如图-2图，若点E是 $B C$ 的中点，连接 $C F$ ，求线段 $C F$ 的长．

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24. 综合运用
如题图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C (0, 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、设点P是直线 $B C$ 上方抛物线上一点，求 $△ P B C$ 的面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)、若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在以 $B C$ 为边，点B ， C ， M ， N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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统计量	平均数	中位数	众数
男生	88	89	99
女生	88	a	98