广东省深圳市南山实验教育集团2024年中考一模数学试题

试卷更新日期：2024-04-18 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1. 笔、墨、纸、砚是中华民族传统的“文房四宝”，是中国书法的必备用具.如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（）
（第1题图）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列运算结果中正确的是（）

A、 $\sqrt{a^{2}} = a$ B、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 6 a^{6}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 $a^{5} \div a^{3} + a^{2} = 2 a^{2}$

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3. 已知m是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $m^{2} - m$ 的值等于（）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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4. 估算 $\sqrt{6} \times \sqrt{15 + 1}$ 的结果（）

A、在6和7之间 B、在7和8之间 C、在8和9之间 D、在9和10之间

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5. 如图， $A D ∥ B E ∥ C F$ ，若 $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $E F = 6$ ，则DF的长度是（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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6. 尺规作图：如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 45 °$ ， $A C > A B$ ，在AC边上求作一点P ，使 $∠ P B C = 45 °$ .如图2是四名同学的作法，其中正确的有（）个
（图1）（图2）

A、4 B、3 C、2 D、1

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7. 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（）

A、4cm B、4.5cm C、5cm D、5.5cm

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8. 若一次函数 $y = x + k$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象没有公共点，则k的值可以是（）

A、－4 B、－2 C、2 D、4

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9. 我校“龙行数学”综合实践活动小组在下表中记录了二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2 (a \neq 0)$ 中两个变量x与y的5组对应值，其中 $x_{2} > x_{1} > - 1$ .
x
…
－3
－1
$x_{1}$
$x_{2}$
5
…
y
…
m
0
－2
0
m
…
若当 $0 < x \leq 4$ 时，直线 $y = k$ 与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（）

A、 $- 2 < k < \frac{10}{3}$ B、 $- 2 < k \leq \frac{10}{3}$ C、 $- \frac{8}{3} < k < - 2$ D、 $- \frac{8}{3} \leq k < - 2$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，点A ， B在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 的图象上，点C在y轴上， $A B = A C$ ， $A C ∥ x$ 轴， $B D ⊥ A C$ 于点D ，若点A的横坐标为5， $B D = 3 C D$ ，则k值为（）

A、3 B、4 C、 $\frac{18}{5}$ D、 $\frac{15}{4}$

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 已知m ， n满足 $\frac{m}{2} = \frac{m + n}{3}$ ，则 $\frac{n}{m}$ 的值为.

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12. 如图，电路图上有三个开关 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 和两个小灯泡 $L_{1}$ ， $L_{2}$ ，随机闭合开关 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 中的两个，能让灯泡 $L_{2}$ 发光的概率是.

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13. 七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板.我校“麒麟团”数学兴趣小组用边长为8的正方形，做了如图①所示的七巧板.将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为.

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14. 将正方体的一种展开图，按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则 $B C =$ .

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15. 在锐角 $△ A B C$ 中，AD ， BE分别为 $△ A B C$ 的中线和角平分线， $A D = B E$ ，且 $A D ⊥ B E$ ，则 $\frac{A C}{B C} =$ .

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三、解答题（本大题共7小题，共55分）

16. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(2023 + π)}^{0} + | t a n 60 ° - 2 |$ .

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17. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x^{2} + x} - 1) \div \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = 2024$ .

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18. 开学初，为评估九年级学生的数学学情，并采取有针对性的教与学，以在中考取得佳绩，我校抽取了九下部分学生的适应性考试数学成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)、这次调查中，一共抽取了多少名学生？

(2)、求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；

(3)、若我校九年级共有1800人参加了这次考试，请你估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？

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19. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $F$ 是 $A D$ 延长线上一点，连接 $C D ， C F$ ，且 $∠ D C F = ∠ C A D$ .

(1)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若直径 $A D = 10 ， c o s B = \frac{3}{5}$ ，求 $F D$ 的长.

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20. “道路千万条，安全第一条”.公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规.某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售500个，3月份销售720个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同.

(1)、求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)、若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

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21. 综合与应用
为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为 $\frac{9}{10}$ 米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者A的水平距离1.5米处，绳子刚好经过她的头顶.

(1)、【阅读理解】
求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围）

(2)、【问题解决】
体育龙老师身高1.82米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由；

(3)、若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最多可供几人齐跳.

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22. 综合与探究
【问题背景】北师大版数学八年级下册P89第12题（以下图片框内）.
图1 图2 图3 图4

(1)、【初步探究】
我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化.如图1，在 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ .求证： $B D = C E$ .

(2)、【类比探究】
如图2，在边长为3的正方形ABCD中，点E ， F分别是CD ， BC上的点，且 $D E = 1$ .连接AE ， AF ， EF ，若 $∠ E A F = 45 °$ ，请直接写出BF的长.

(3)、【深入探究】
如图3，D ， P是等边 $△ A B C$ 外两点，连接BD并取BD的中点M ，且 $∠ A P D = 120 °$ ， $∠ M P C = 60 °$ .试猜想PA与PD的数量关系，并证明你的结论.

(4)、【拓展应用】
如图4，在四边形ABCD中， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A D = C D$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B D = \sqrt{62}$ ，请直接写出BC的长.

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x	…	－3	－1	$x_{1}$	$x_{2}$	5	…
y	…	m	0	－2	0	m	…