四川省眉山市东坡区多悦高级中学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-18 类型：期中考试

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一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）

1. cos(－510°)=（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. $c o s 40 ° s i n 70 ° - s i n 40 ° s i n 160 ° =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 已知 $t a n (α + \frac{π}{4}) = 3$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、2

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4. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $s i n (π - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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5. 已知 $s i n (α - \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{3}) =$

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $- \frac{2}{9}$

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6. 若函数 $f (x)$ 同时满足下列三个性质：①最小正周期为 $π$ ；②图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称；③在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上是增函数，则 $y = f (x)$ 的解析式可以是（）

A、 $y = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = s i n (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ C、 $y = c o s (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $y = c o s (2 x + \frac{π}{3})$

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7. 要得到 $y = c o s (2 x - \frac{π}{3})$ 的图像，只需将函数 $y = s i n 2 x$ 的图像（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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8. 将函数 $y = s i n x + \sqrt{3} c o s x (x \in R)$ 的图像向右平移 $m (m > 0)$ 个长度单位后，所得到的图像关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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二、多选题（本题共3道小题，每小题6分，共18分）

9. 下列四个函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = | s i n x |$ B、 $y = c o s x$ C、 $y = - t a n x$ D、 $y = - s i n x$

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10. 已知 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 \sqrt{3} c o s^{2} x - \sqrt{3}$ ，下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、 $f (x)$ 最大值为2 C、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{3}$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{2 π}{3} ， 0)$ 对称

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11. 已知 $f (x) = 2 c o s (2 ω x + φ)$ （其中 $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < 0$ ）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 4$ B、 $φ = - \frac{π}{6}$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{π}{4})$ 单调递减 D、若 $f (\frac{1}{2} α - \frac{π}{12}) = \frac{1}{3}$ ，且 $α \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，则 $s i n α - c o s α = \frac{\sqrt{30}}{6}$

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三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分）

12. $t a n 75 °$ 的值为．

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13. 化简 $2 \sqrt{1 - s i n 8} - \sqrt{2 - 2 c o s 8} =$

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14. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)( ω＞0， φ∈( $\frac{π}{2}$ ， π))的部分图象如图所示，则f（2021）＝．

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四、解答题（本题共5道小题,第1题13分,第2题15分,第3题15分,第4题17分,第5题17分,共77分）

15. 已知 $s i n α = \frac{\sqrt{5}}{5} ， α \in (\frac{π}{2}, π)$ .

(1)、求 $t a n α$ ， $s i n 2 α$ 的值；

(2)、求 $c o s (α - \frac{π}{3})$ 的值.

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16. 已知 $α$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ， $t a n β = \frac{1}{2} .$

(1)、求 $s i n α$ 的值；

(2)、求 $t a n (α + β)$ 的值．

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17. 已知函数 $f (x) = 2 - c o s^{2} (x + \frac{π}{3}) - s i n^{2} x$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图像关于点 $(\frac{π}{2} ， 1)$ 中心对称，求 $y = g (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上的值域.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} x - s i n^{2} x + 2$ ．

(1)、求函数f(x)的最大值；

(2)、把 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的单调递减区间

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19. 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为 $T = 24$ 分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．

(1)、求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系 $h (t)$ 的解析式；

(2)、在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；

(3)、记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值．

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