湖南省衡阳县第二中学2023-2024学年高二下学期期中达标数学测评卷

试卷更新日期：2024-04-18 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”的个数为( )

A、120 B、80 C、20 D、40

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2. $(x^{3} - 1) {(\sqrt{x} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为( )

A、 $- 60$ B、240 C、 $- 80$ D、180

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3. 已知随机变量 $ξ$ 和 $η$ ，其中 $η = 12 ξ + 7$ ，且 $E η = 34$ ，若 $ξ$ 的分布列如下表，则m的值为（）

ξ

1

2

3

4

P

$\frac{1}{4}$

m

n

$\frac{1}{12}$

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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4. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是( )

A、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 互斥 B、 $P (B | A_{1}) = \frac{5}{7}$ C、 $P (A_{2} B) = \frac{1}{7}$ D、 $P (B) = \frac{13}{21}$

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5. 某中学开展高二年级“拔尖创新人才”学科素养评估活动，其中物化生､政史地､物化政三种组合人数之比为 $6 : 3 : 1$ ，这三个组合中分别有10%，6%，2%的学生参与此次活动，现从这三个组合中任选一名学生，这名学生参与此次活动的概率为( )

A、0.044 B、0.18 C、0.034 D、0.08

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6. 已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量X表示摸球8次后的总分值，则 $D (X) =$ ( )

A、8 B、 $\frac{16}{9}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、16

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7. 下列说法正确的是( )

A、已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8 B、已知一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{10}$ 的方差为2，则 $x_{1} + 2$ ， $x_{2} + 2$ ， $x_{3} + 2$ ， …， $x_{10} + 2$ 的方差为4 C、具有线性相关关系的变量x ， y ，其线性回归方程为 $y = 0.2 x - m$ ，若样本点的中心为 $(m, 3.2)$ ，则 $m = 4$ D、若随机变量X服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ， $P (X \leq 3) = 0.64$ ，则 $P (1 \leq X \leq 2) = 0.14$

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8. 下列说法正确的是( )

A、某同学定点投篮每次命中的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，每命中一次得2分，若记10次投篮得分为X ，则随机变量X服从二项分布，简记 $X ~ B (10, \frac{3}{4})$ B、某工厂生产了一批产品50件，其中质量达到“ $A$ 级”的有20件，则从该批产品中随机抽取10件，记录抽到的产品中为“非A级”的个数为Y ，则随机变量Y的数学期望为 $E (Y) = 4$ C、若随机变量 $(X, Y)$ 的成对数据的线性相关系数 $| r | = 1$ ，则认为随机变量X与Y是确定的函数关系，不是线性相关关系 D、若随机变量 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，其分布密度函数为 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{(x - 2)^{2}}{2}} (x \in R)$ ，则 $P (X > 1) > \frac{1}{2}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是( )

A、共有 $A_{6}^{6}$ 种不同的排法 B、男生不在两端共有 $A_{2}^{2} A_{4}^{4}$ 种排法 C、男生甲，乙相邻共有 $A_{2}^{2} A_{5}^{5}$ 种排法 D、三位女生不相邻共有 $A_{3}^{3} A_{3}^{3}$ 种排法

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10. 已知 ${(x + 2)}^{10} + x^{8} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + ⋯ + a_{10} {(x + 1)}^{10}$ ，则下列结论正确的是( )

A、 $a_{0} = 2$ B、 $a_{2} = 17$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} = 384$ D、 $a_{0} + 2 a_{1} + 3 a_{2} + ⋯ + 11 a_{10} = 6144$

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11. 2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期.甲，乙，丙，丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京，上海，广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择.事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是( )

A、事件M与N互斥 B、 $P (N | M) = P (M | N)$ C、 $P (\bar{M N}) = \frac{31}{36}$ D、 $P (M ∪ N) = \frac{2}{3}$

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12. 一个袋子中有大小、形状完全相同的2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，取到黑球记1分，记4次取球的总分数为X ，则( )

A、 $X ~ B (4, \frac{2}{3})$ B、 $P (X = 2) = \frac{8}{81}$ C、 $E (X) = \frac{8}{3}$ D、 $D (X) = \frac{8}{9}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知随机变量 $X \sim B (8, p)$ ， $Y \sim N (μ, σ^{2})$ ， $P (Y \geq 4) = \frac{1}{2}$ ，且 $E (X) = E (Y)$ ，则 $p =$ .

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14. 在二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt[4]{x}})}^{10}$ 的展开式中，有理项的个数为.

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15. 已知随机变量 $X ~ N (0, σ^{2})$ 且 $P (- 2 \leq X \leq 0) = 0.4$ ，则 $P (X > 2) =$ .

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16. 某公司新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工作进行指导.若每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲､乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为.（用数字作答）

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四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8，4.9，5.0，5.1.视力 $\geq 5.0$ 为正常视力.否则就是近视.某校进行一次对学生视力与学习成绩的相关调查，随机抽查了100名近视学生的成绩(按照各科占一定权重计算而得的满分100分的综合成绩)，得到频率分布直方图如下：

(1)、估计该校近视学生学习成绩的第85百分位数；(精确到0.1)

(2)、已知该校学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%(成绩 $\geq 85$ 分视作优秀)，从该校学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率.(以样本中的频率作为相应的概率)

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18. 已知二项式 ${(\sqrt{x} - 2 x^{- 2})}^{n}$ ．

(1)、若展开式中第二项系数与第四项系数之比为1：8，求二项展开式的系数之和．

(2)、若展开式中只有第6项的二项式系数最大，求展开式中的常数项．

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19. 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.

(1)、若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布 $N (60, 144)$ ，规定 $X \geq 72$ 为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；

(2)、某进入面试的应聘者第一题答对的概率为 $\frac{2}{3}$ ，后两题答对的概率均为 $\frac{4}{5}$ ，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.
附：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ （ $σ > 0$ ），则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.683$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.954$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.997$ .

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20. 如图，已知四棱锥S-ABCD.

(1)、从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥S-ABCD的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数；

(2)、从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥S-ABCD的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数.

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ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	m	n	$\frac{1}{12}$