山东省聊城市2022-2023学年高二下学期期中质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-04-18 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（）

A、7 B、9 C、12 D、16

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2. 曲线 $f (x) = 3 x^{2} - e^{x}$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程为：（）

A、 $x + y + 1 = 0$ B、 $x - y + 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$

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3. 4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. 已知定义在 $(a, b)$ 的函数 $f (x)$ ，导函数 $f^{'} (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上的图象如图所示，则函数 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上的极大值点的个数为y个（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5. ${(x - 2 + y)}^{6}$ 的展开式中， $x^{2} y^{2}$ 的系数为（）

A、360 B、180 C、90 D、-180

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6. 已知随机变量X服从正态分布 $N (3, σ^{2}) (σ > 0)$ ， $P (3 \leq X \leq 5) = 0.36$ ，则 $P (X \geq 1) =$ （）

A、0.5 B、0.72 C、0.14 D、0.86

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7. 在某个章节学习完成后，进行系统化归纳梳理以及个性化回顾整理，不仅可以帮助我们构建完整的知识框架，也能够及时查漏补缺，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养。某同学在学完“计数原理”这一章之后的纠错本整理过程中发现以下四个课后习题中仍然有一个结论是错误的，则该同学（）选项中结论有误，需要进一步落实纠错.

A、 ${(n + 1)}^{n} - 1$ 能被 $n^{2}$ 整除 B、乘积 $(a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}) (b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n})$ 展开后，共有 $n^{2}$ 项 C、一含有5个元素的集合，其含有3个元素的子集共有20个 D、以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 e^{x} - 1 (x \geq 0) \\ - x^{3} + 3 x + a (x < 0) \end{array}$ 的值域为 $[2, + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[4, + \infty)$ B、 $(4, + \infty)$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 给出下列问题，属于组合问题的有（）

A、从2，11，13，17中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商. B、有5张广场演唱会门票，要在8人中确定5人去观看，有多少种不同的选法 C、从20只不同颜色的气球中选出6只布置教室，有多少种不同的选法 D、艺术节排练，从甲、乙、丙等9名同学中选出4名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安排方法

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10. 函数 $f (x) = 3 + {(1 - x^{2})}^{2}$ 的极值点是（）

A、 $x = 1$ B、 $x = - 1$ C、 $x = 0$ D、 $x = - 2$

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11. 甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（）

A、事件B与事件C互斥 B、 $P (B) = \frac{3}{8}$ C、事件A与事件B相互独立 D、记C的对立事件为 $\bar{C}$ ，则 $P (B | \bar{C}) = \frac{3}{7}$

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12. 已知实数 $a, b \in (1, + \infty)$ 且 $2 (a + b) = e^{2 a} + 2 l n b + 1$ 则下列选项正确的是（）

A、 $1 < a < b$ B、 $a < b < 2 a$ C、 $2 a < b < e^{a}$ D、 $e^{a} < b < e^{2 a}$

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三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. 中国航天史是从1956年二月开始的，当时著名科学家钱学森向中央提出《建立中国国防航空工业的意见》。1956年四月，成立中华人民共和国航空工业委员会，统一领导了中国的航空和火箭事业。航空工业委员会的成立标志着中国的航天事业创业的开始。某次模拟实验中航天飞机发射后的一段时间内，第 $t$ 秒时的高度 $h (t) = 5 t^{3} + 20 t^{2} + 45 t - 1$ ，（其中 $h$ 的单位为m， $h$ 的单位为s），则第2s末的瞬时速度为m/s.

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14. “奥帆之都”青岛，具有现代时尚都市感的同时，更注重里院文化的传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动。一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有种不同的涂法?

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15. 某旅游品生产厂家要对生产产品进行检测，后续进行产品质量优化。产品分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，设其级别为随机变量 $ξ$ ，且优秀、良好、合格、不合格四个等级分别对应 $ξ$ 的值为1、2、3、4，其中优秀产品是良好产品的两倍，合格产品是良好产品的一半，不合格产品与合格产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，则 $P (ξ > 1) =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{t}{x}$ ，若 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $t$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知 ${(4 x - 1)}^{n}$ 的二项展开式中二项式系数之和为256.

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中 $x^{3}$ 项的系数.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + 1$ ， $a \in R$ ，且 $f^{'} (2) = 4$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{1}{2}, 3]$ 的最值.

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19. 甲、乙、丙三位电竞爱好者参加一项比赛的海选赛测试，三人测试相互独立，已知甲能通过测试的概率是 $\frac{3}{5}$ ，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是 $\frac{1}{4}$ ，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是 $\frac{1}{30}$ ，且乙通过测试的概率比丙小.

(1)、求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；

(2)、求测试结束后通过的人数X的数学期望 $E (X)$ .

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20. （结果可用指数幂的形式表示）
设 ${(1 - 3 x)}^{2023} = a_{0} + a_{1} (1 + x) + a_{2} {(1 + x)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2023} {(1 + x)}^{2023} (x \in R)$ .求：

(1)、 $a_{0}$ ；

(2)、求 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{2023}$ 的值；

(3)、求 $| a_{0} | + | a_{1} | + | a_{2} | + \cdot \cdot \cdot + | a_{2023} |$ 的值.

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21. 运动能让大脑分泌更多多巴胺，提高幸福感。而球类运动不仅能够改善身体素质、提升反应能力，更能够提升人际关系，因此颇受人们喜爱。某高校对开设体育选修课进行调查，从该校大学生中随机抽取容量为100的样本，其中选择球类运动的有24人（其中选择羽毛球的有8人，2名男生，6名女生）

(1)、若从样本中选一位学生，已知这位学生选择球类运动，那么，他选的是羽毛球的概率是多大?

(2)、从这8名选择羽毛球的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；

(3)、若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从该校的大学生中，随机选出20位，求选择羽毛球的人数Y的期望和方差.

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22. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - x - t) e^{\frac{x}{t}}$ ， $(t \neq 0)$ .

(1)、当 $t = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调区间.

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