河北省邯郸市2024届高三第四次调研监测数学试题

试卷更新日期：2024-04-18 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 3 x - 4 ⩽ 0}, B = {x | y = x^{\frac{1}{4}}}$ .则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 1]$ B、 $[0, 4]$ C、 $(0, 4]$ D、 $[0, 1]$

查看试题解析
2. 已知复数 $z$ 满足 $z^{2} = - 1$ ，则 $| z^{2} + 2 z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
3. 已知 $α, β$ 是两个平面， $m, n$ 是两条直线，且 $α ⊥ β ， m \subset α, n \subset β$ ，则“ $m ⊥ n$ ”是" $m ⊥ β$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 设函数 $f (x) = x + \frac{1}{x + 2}$ 的图像与 $x$ 轴相交于点 $P$ ，则该曲线在点 $P$ 处的切线方程为（）

A、 $y = - x$ B、 $y = - x - 1$ C、 $y = 0$ D、 $y = x - 1$

查看试题解析
5. 由动点 $P$ 向圆 $M : (x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 1$ 引两条切线 $P A, P B$ ，切点分别为 $A, B$ ，若四边形 $A P B M$ 为正方形，则动点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 4$ B、 $(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 2$ C、 $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ D、 $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 2$

查看试题解析
6. 某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（）

A、12 B、18 C、20 D、60

查看试题解析
7. 已知 $O$ 为坐标原点. $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点， $P$ 是双曲线 $C$ 上一点，若直线 $P F_{1}$ 和 $O P$ 的倾斜角分别为 $α$ 和 $2 α$ ，且 $t a n α = \frac{3}{4}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、5 C、2 D、 $\frac{7}{5}$

查看试题解析
8. 对任意两个非零的平面向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，定义： $\vec{a} \oplus \vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} |^{2} + | \vec{b} |^{2}}$ ； $\vec{a} ⊙ \vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |^{2}}$ .若平面向 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | > | \vec{b} | > 0$ ，且 $\vec{a} \oplus \vec{b}$ 和 $\vec{a} ⊙ \vec{b}$ 都在集合 ${\frac{n}{4} | n \in Z, 0 < n ⩽ 4}$ ，则 $\vec{a} \oplus \vec{b} + \vec{a} ⊙ \vec{b} =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、1或 $\frac{7}{4}$ D、1或 $\frac{5}{4}$

查看试题解析

二、､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x) = M s i n (ω x + φ) (M > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图像如图所示， $A, B$ 为 $f (x)$ 的图像与 $x$ 轴的交点， $C$ 为 $f (x)$ 图像上的最高点， $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形， $| O B | = 2 | O A |$ .则（）

A、 $f (0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、直线 $x = \frac{13}{6}$ 是 $f (x)$ 图像的一条对称轴 C、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(\frac{1}{6} + 2 k, \frac{7}{6} + 2 k) (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(- \frac{5}{6} + 2 k π, \frac{1}{6} + 2 k π) (k \in Z)$

查看试题解析
10. 设抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $P (0, 3)$ 的直线与抛物线 $E$ 相交于点 $A, B$ ，与 $x$ 轴相交于点 $C, | A F | = 2, | B F | = 10$ .则（）

A、 $E$ 的准线方程为 $y = - 2$ B、 $p$ 的值为2 C、 $| A B | = 4 \sqrt{2}$ D、 $△ B F C$ 的面积与 $△ A F C$ 的面积之比为9

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若函数 $f (2 x - 3)$ 的图像关于点 $(2, 1)$ 对称， $f (2 + x) - f (2 - x) = 4 x$ ，且 $f (0) = 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图像关于点 $(1, 1)$ 对称 B、 $f (x + 4) = f (x)$ C、 $f^{'} (1026) = 2$ D、 $\sum_{i = 1}^{59} f (i) = 2499$

查看试题解析

三、､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上

12. 已知 $b > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{a + 4^{b x}}{2^{x}}$ 是奇函数，则 $a =$ ， $b =$ .

查看试题解析
13. 正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的五角星中，以 $A, B, C, D, E$ 为顶点的多边形为正五边形，设 $∠ C A D = α$ ，则 $c o s α + c o s 2 α + c o s 3 α + c o s 4 α =$ ， $c o s α c o s 2 α c o s 3 α c o s 4 α =$ .

查看试题解析
14. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 5, A D = 3, A A_{1} = 4$ ，平面 $α$ $∥$ 平面 $A_{1} A B B_{1}$ ， $α$ 截四面体 $A C D_{1} B_{1}$ 所得截面面积的最大值为.

查看试题解析

四、､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底是正方形.设平 $P A D$ 与平面 $P B C$ 相交于直线 $l$ .

(1)、证明： $l ∥ A D$ ；

(2)、若平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P^{'} A = P B = \sqrt{5}, A B = 2$ ，求直线 $P C$ 与平 $P A D$ 所成的正弦值.

查看试题解析
16. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{2} = 3$ ，且 $\sqrt{S_{n + 1}} = \sqrt{S_{n}} + \sqrt{S_{1}}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{4 S_{n}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
17. 假设某同学每次投篮命中的概率均为 $\frac{1}{2}$

(1)、若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.

(2)、该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投 $n (n \in N_{+}, n ⩽ 33)$ 个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外再投 $100 - 3 n$ 个.试问 $n$ 为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？

查看试题解析
18. 已知椭圆 $C$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴， $y$ 轴，且过 $M (2, 0), N (1, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ 两点

(1)、求 $C$ 的方程

(2)、A ， B是 $C$ 的两个动点，D为C的上顶点，是否存在以D为顶点，AB为底边等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在.请说明理由.

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - m x, g (x) = x - m l n x$ .

(1)、是否存在实数 $m$ ，使得 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在 $(0, + ∞)$ 上的单调区间相同？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

(2)、已知 $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x)$ 的零点， $x_{2}, x_{3}$ 是 $g (x)$ 的零点.
①证明： $m > e$ .
②证明： $1 < x_{1} x_{2} x_{3} < e^{3}$ .

查看试题解析